Derivabilidad, monotonía y asíntotas de una función a trozos

**a) (1.2 puntos) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto de abscisa $x = 1$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Una función es continua en $x=c$ si los límites laterales coinciden con el valor de la función: $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: 1. Límite por la izquierda ($x \to 1^-$) y valor de la función: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \frac{b}{2-1} = \frac{b}{1} = b$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1)^2 - 3(1) + 1 = a - 3 + 1 = a - 2$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$b = a - 2 \implies a - b = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es un requisito previo para la derivabilidad. Si una función tiene un salto, nunca podrá ser derivable en ese punto.

Una vez asegurada la continuidad, la función será derivable si las derivadas laterales coinciden en $x = 1$: $f'(1^-) = f'(1^+)$. Primero, calculamos la derivada de cada rama: - Para $x < 1$: $f(x) = b(2-x)^{-1}$. Aplicando la regla de la cadena: $$f'(x) = b \cdot (-1) \cdot (2-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{b}{(2-x)^2}$$ - Para $x > 1$: $$f'(x) = 2ax - 3$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 1$: - Por la izquierda: $f'(1^-) = \frac{b}{(2-1)^2} = \frac{b}{1} = b$ - Por la derecha: $f'(1^+) = 2a(1) - 3 = 2a - 3$ Igualamos las derivadas laterales: $$b = 2a - 3$$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1) $b = a - 2$ 2) $b = 2a - 3$ Igualamos ambas expresiones para $b$: $$a - 2 = 2a - 3$$ $$3 - 2 = 2a - a$$ $$a = 1$$ Sustituimos $a = 1$ en la primera ecuación: $$b = 1 - 2 = -1$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1}$$

**b) (1.3 puntos) Para $a = 1$ y $b = 2$, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.** Sustituimos los valores en la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{2-x} & si \ x \leq 1 \\ x^2 - 3x + 1 & si \ x > 1 \end{cases}$$ Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{2}{(2-x)^2} & si \ x < 1 \\ 2x - 3 & si \ x > 1 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada rama: 1. En el intervalo $(-\infty, 1)$, $f'(x) = \frac{2}{(2-x)^2}$. Como el numerador es positivo y el denominador está al cuadrado, **$f'(x) > 0$ siempre**, luego la función es **creciente**. 2. En el intervalo $(1, +\infty)$, buscamos puntos críticos: $2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Analizamos el signo alrededor de $1.5$: - Si $1 \lt x \lt 1.5$: $f'(1.2) = 2(1.2) - 3 = -0.6 \lt 0$ (**decreciente**). - Si $x \gt 1.5$: $f'(2) = 2(2) - 3 = 1 \gt 0$ (**creciente**). 💡 **Tip:** Para estudiar la monotonía de una función a trozos, analiza el signo de la derivada en cada intervalo definido por las ramas y por los puntos donde la derivada se anula.

Resumimos el crecimiento y decrecimiento en la siguiente tabla. Note que en $x=1$ hay un salto entre ramas (discontinuidad), ya que $f(1)=2$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{salto} & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de monotonía:** - Creciente: $(-\infty, 1) \cup (1.5, +\infty)$ - Decreciente: $(1, 1.5)$ ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 1) \cup (1.5, +\infty) \text{ y decreciente en } (1, 1.5)}$$

**Asíntotas Verticales (AV):** - En la primera rama ($x \leq 1$), el denominador se anula en $x=2$, pero este punto no pertenece al dominio de esa rama. - En la segunda rama ($x > 1$), es un polinomio, que no tiene AV. - **No hay asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** - Cuando $x \to -\infty$ (primera rama): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{2-x} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ Existe una AH en **$y = 0$** por la izquierda. - Cuando $x \to +\infty$ (segunda rama): $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1) = +\infty$$ No hay AH por la derecha. **Asíntotas Oblicuas (AO):** - Por la izquierda no hay (ya hay AH). - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x - 3 + \frac{1}{x}) = +\infty$$ Como el límite es infinito, **no hay AO**. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AH: } y = 0 \text{ (cuando } x \to -\infty), \text{ No hay AV ni AO}}$$