Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional.** Primero, identificamos los datos del problema y calculamos la media de la muestra proporcionada: * Muestra ($n=10$): $18, 18.5, 14, 16.5, 19, 20, 20.5, 17, 18.5, 18$ * Desviación típica poblacional ($\sigma$): $2.5$ * Nivel de confianza ($1 - \alpha$): $0.96$ Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{18 + 18.5 + 14 + 16.5 + 19 + 20 + 20.5 + 17 + 18.5 + 18}{10} = \frac{180.5}{10} = 18.05$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional $\mu$ y es el centro de nuestro intervalo de confianza. $$\boxed{\bar{x} = 18.05}$$

Para un nivel de confianza del $96\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ utilizando la distribución Normal estándar $N(0,1)$: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ Consultando la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$, vemos que para una probabilidad de $0.98$, el valor de $z$ más aproximado es **$2.05$** (ya que $P(Z \le 2.05) = 0.9798$). 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una media si los dos valores son equidistantes. Aquí $2.05$ es una excelente aproximación. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.05 \cdot \frac{2.5}{\sqrt{10}} = 2.05 \cdot \frac{2.5}{3.1623} = 2.05 \cdot 0.7906 = 1.6207$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $18.05 - 1.6207 = 16.4293$ - Límite superior: $18.05 + 1.6207 = 19.6707$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (16.43, 19.67)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el error máximo cometido con esa estimación?** El error máximo cometido ($E$) es el radio del intervalo de confianza, es decir, la parte que sumamos y restamos a la media. Utilizamos el cálculo realizado en el apartado anterior: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.05 \cdot \frac{2.5}{\sqrt{10}} \approx 1.6207$$ 💡 **Tip:** El error máximo también puede calcularse como la mitad de la amplitud del intervalo: $E = \frac{\text{Límite superior} - \text{Límite inferior}}{2}$. ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E \approx 1.62}$$

**c) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 1, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?** Queremos que $E \lt 1$. La fórmula del error es: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 2.05$ y $\sigma = 2.5$): $$2.05 \cdot \frac{2.5}{\sqrt{n}} \lt 1 \implies \frac{5.125}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$5.125 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para hallar $n$: $$n \gt (5.125)^2 = 26.2656$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error sea **menor** que el pedido. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 27}$$