Álgebra 2016 Andalucia
Optimización de beneficios en taller de alfombras
OPCIÓN B
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina.
Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150 € y 100 €, respectivamente, ¿cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema y la función que queremos maximizar (beneficio).
Llamamos:
- $x$: número de alfombras de seda fabricadas al mes.
- $y$: número de alfombras de lana fabricadas al mes.
La función de beneficio $B(x, y)$ que queremos maximizar viene dada por el beneficio unitario de cada tipo:
$$B(x, y) = 150x + 100y$$
💡 **Tip:** Lee siempre la pregunta final para identificar las variables. Aquí nos preguntan cuántas alfombras de cada tipo se deben elaborar.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A partir de los datos del enunciado, establecemos las limitaciones (restricciones) de tiempo para el trabajo manual y de máquina.
**1. Trabajo manual:**
Se necesitan 2h para seda ($x$) y 3h para lana ($y$), con un máximo de 600h:
$$2x + 3y \le 600$$
**2. Trabajo de máquina:**
Se necesitan 2h para seda ($x$) y 1h para lana ($y$), con un máximo de 480h:
$$2x + y \le 480$$
**3. Restricciones de no negatividad:**
No se pueden fabricar cantidades negativas de alfombras:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Las restricciones suelen ser de tipo "menor o igual" ($\le$) cuando nos dan un límite máximo de recursos (como horas disponibles).
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las inecuaciones y determinamos el recinto común que cumplen todas las condiciones.
- Recta $r_1$ (manual): $2x + 3y = 600$. Pasa por $(0, 200)$ y $(300, 0)$.
- Recta $r_2$ (máquina): $2x + y = 480$. Pasa por $(0, 480)$ y $(240, 0)$.
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las inecuaciones simultáneamente.
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "2x + 3y \le 600",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r2",
"latex": "2x + y \le 480",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "x0",
"latex": "x \ge 0",
"color": "#111827"
},
{
"id": "y0",
"latex": "y \ge 0",
"color": "#111827"
}
],
"bounds": {
"left": -50,
"right": 400,
"bottom": -50,
"top": 550
}
}
}
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región factible:
- **Punto A:** Origen $(0, 0)$.
- **Punto B:** Intersección de $r_2$ con el eje $X$ ($y=0$):
$2x + 0 = 480 \implies x = 240 \implies B(240, 0)$.
- **Punto C:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 600 \\ 2x + y = 480 \end{cases}$$
Restando ambas ecuaciones: $(2x + 3y) - (2x + y) = 600 - 480 \implies 2y = 120 \implies y = 60$.
Sustituyendo en la segunda: $2x + 60 = 480 \implies 2x = 420 \implies x = 210$.
Así, $C(210, 60)$.
- **Punto D:** Intersección de $r_1$ con el eje $Y$ ($x=0$):
$2(0) + 3y = 600 \implies y = 200 \implies D(0, 200)$.
💡 **Tip:** El máximo o mínimo de la función objetivo siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 150x + 100y$ en cada uno de los vértices:
- $B(0, 0) = 150(0) + 100(0) = 0\,€$
- $B(240, 0) = 150(240) + 100(0) = 36000\,€$
- $B(210, 60) = 150(210) + 100(60) = 31500 + 6000 = 37500\,€$
- $B(0, 200) = 150(0) + 100(200) = 20000\,€$
El valor máximo es de **37500 €**, que se obtiene fabricando **210 alfombras de seda y 60 de lana**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se deben elaborar 210 alfombras de seda y 60 de lana. El beneficio máximo es de 37.500 €}}$$