Análisis de liquidez y créditos bancarios

**a) (1 punto) Justifique que $C$ es una función continua.** Para que una función sea continua, debe serlo en cada uno de los intervalos de sus ramas y en los puntos de salto. 1. **En la primera rama** ($10 \leq x < 50$): $C(x) = \frac{150 + 5x}{100}$ es una función polinómica (de primer grado) dividida por una constante, por lo que es continua en todo su dominio. 2. **En la segunda rama** ($x > 50$): $C(x) = \frac{200 + 10x}{25 + 3x}$ es una función racional. Las funciones racionales son continuas excepto donde el denominador es cero. Resolviendo $25 + 3x = 0$, obtenemos $x = -\frac{25}{3} \approx -8.33$. Como este valor no pertenece al intervalo $x > 50$, la función es continua en esta rama. 💡 **Tip:** Una función racional solo presenta discontinuidades en los valores de $x$ que anulan el denominador.

Debemos comprobar si la función es continua en $x = 50$, verificando que los límites laterales coincidan con el valor de la función: - **Valor de la función:** $C(50) = \frac{150 + 5(50)}{100} = \frac{150 + 250}{100} = \frac{400}{100} = 4$. - **Límite por la izquierda ($x \to 50^-$):** $$\lim_{x \to 50^-} C(x) = \lim_{x \to 50} \frac{150 + 5x}{100} = \frac{400}{100} = 4.$$ - **Límite por la derecha ($x \to 50^+$):** $$\lim_{x \to 50^+} C(x) = \lim_{x \to 50} \frac{200 + 10x}{25 + 3x} = \frac{200 + 10(50)}{25 + 3(50)} = \frac{200 + 500}{25 + 150} = \frac{700}{175} = 4.$$ Como $\lim_{x \to 50^-} C(x) = \lim_{x \to 50^+} C(x) = C(50) = 4$, la función es continua en $x = 50$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } C(x) \text{ es continua en todo su dominio } [10, +\infty)}$$

**b) (1 punto) ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de $C$?** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $C'(x)$ en cada tramo: 1. **Para $10 < x < 50$:** $$C'(x) = \left(\frac{150 + 5x}{100}\right)' = \frac{5}{100} = 0.05.$$ Como $C'(x) > 0$, la función es **estrictamente creciente** en este intervalo. 2. **Para $x > 50$:** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$C'(x) = \frac{10(25 + 3x) - (200 + 10x) \cdot 3}{(25 + 3x)^2} = \frac{250 + 30x - 600 - 30x}{(25 + 3x)^2} = \frac{-350}{(25 + 3x)^2}.$$ Como el numerador es siempre negativo y el denominador es siempre positivo (al estar al cuadrado), $C'(x) < 0$ para todo $x > 50$. Por tanto, la función es **estrictamente decreciente** en este intervalo. 💡 **Tip:** Si $f'(x) > 0$ la función crece; si $f'(x) < 0$ la función decrece.

Resumimos el comportamiento de la función en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (10, 50) & 50 & (50, +\infty) \\ \hline C'(x) & + & \nexists & - \\ C(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ La función crece hasta $x = 50$ y empieza a decrecer justo después. - La cantidad dedicada a créditos decrece a partir de una liquidez de **50 mil euros** ($x = 50$). - El valor máximo se alcanza en $x = 50$ y es $C(50) = 4$. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\text{Decrece a partir de } x = 50 \text{ mil euros. El valor máximo es } C = 4 \text{ mil euros.}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.** Para hallar la asíntota horizontal, calculamos el límite de la función cuando la liquidez $x$ tiende a infinito. Usamos la segunda rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{200 + 10x}{25 + 3x}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{10x}{3x} = \frac{10}{3} \approx 3.33.$$ La asíntota horizontal es la recta **$y = \frac{10}{3}$**. 💡 **Tip:** $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^n + ...}{bx^n + ...} = \frac{a}{b}$ si los grados son iguales.

En el contexto del problema, la asíntota horizontal representa el valor al que tiende la cantidad dedicada a créditos cuando la liquidez del banco crece indefinidamente. Esto significa que, por mucha liquidez que tenga el banco (cuando $x$ es muy grande), la cantidad dedicada a créditos no bajará de $\frac{10}{3}$ mil euros (aproximadamente **3333,33 euros**), estabilizándose en ese valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota: } y = \frac{10}{3}. \text{ Representa el valor límite de créditos a liquidez infinity.}}$$