Probabilidad: Nacionalidad y alojamiento de veraneantes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos que intervienen: * $E$: El veraneante es español. * $Ex$: El veraneante es extranjero. * $H$: El veraneante reside en un hotel. * $\bar{H}$: El veraneante no reside en un hotel (reside en otro tipo de residencia). Organizamos la información proporcionada en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. Por ejemplo: $P(E) + P(Ex) = 0.4 + 0.6 = 1$.

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?** Para calcular la probabilidad de que no resida en un hotel ($P(\bar{H})$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de las distintas ramas que terminan en $\bar{H}$: $$P(\bar{H}) = P(E) \cdot P(\bar{H}|E) + P(Ex) \cdot P(\bar{H}|Ex)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{H}) = 0.4 \cdot 0.7 + 0.6 \cdot 0.2$$ $$P(\bar{H}) = 0.28 + 0.12$$ $$P(\bar{H}) = 0.4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H}) = 0.4}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes.

**b) (1 punto) Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?** Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(E|\bar{H})$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(E|\bar{H}) = \frac{P(E \cap \bar{H})}{P(\bar{H})}$$ Sabemos por el paso anterior que: * $P(E \cap \bar{H}) = P(E) \cdot P(\bar{H}|E) = 0.4 \cdot 0.7 = 0.28$ * $P(\bar{H}) = 0.4$ Calculamos el cociente: $$P(E|\bar{H}) = \frac{0.28}{0.4} = 0.7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|\bar{H}) = 0.7}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una causa (ser español) dado un efecto observado (no estar en un hotel).

**c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “ser extranjero” y “residir en un hotel”?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. En nuestro caso, comprobamos si: $$P(Ex \cap H) = P(Ex) \cdot P(H)$$ 1. Calculamos $P(Ex \cap H)$ siguiendo la rama del árbol: $$P(Ex \cap H) = P(Ex) \cdot P(H|Ex) = 0.6 \cdot 0.8 = 0.48$$ 2. Calculamos $P(H)$. Como ya conocemos $P(\bar{H}) = 0.4$ del apartado (a): $$P(H) = 1 - P(\bar{H}) = 1 - 0.4 = 0.6$$ 3. Multiplicamos $P(Ex)$ por $P(H)$: $$P(Ex) \cdot P(H) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36$$ Comparamos los resultados: Como $P(Ex \cap H) = 0.48$ y $P(Ex) \cdot P(H) = 0.36$, observamos que $0.48 \neq 0.36$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes.}}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(H|Ex) = P(H)$. Como $0.8 \neq 0.6$, confirmamos que conocer que el veraneante es extranjero altera la probabilidad de que esté en un hotel, luego son dependientes.