Distribución de la media muestral y cálculo de probabilidades

**a) (0.75 puntos) ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa ciudad?** Primero, definimos la variable aleatoria de la población: $X$: peso de un habitante de la ciudad (en kg). Según el enunciado, la población sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(65, 8)$$ Donde: - Media poblacional $\mu = 65$ kg - Desviación típica poblacional $\sigma = 8$ kg 💡 **Tip:** En problemas de inferencia, siempre es vital distinguir entre los datos de la población y los datos de la muestra.

Para una muestra de tamaño $n = 64$, la teoría del muestreo nos dice que la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media que la población y una desviación típica (error típico) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos los parámetros de la distribución de $\bar{X}$: - Media de la media muestral: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 65$ - Desviación típica de la media muestral: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{8}{\sqrt{64}} = \dfrac{8}{8} = 1$ Por tanto, la distribución que sigue la media de los pesos es: $$\bar{X} \sim N(65, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a medida que aumenta el tamaño de la muestra $n$, la dispersión de la media muestral disminuye (la campana de Gauss se vuelve más estrecha). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(65, 1)}$$

**b) (1.75 puntos) Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 100 de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg?** En este apartado el tamaño de la muestra cambia a $n = 100$. Debemos recalcular la desviación típica de la nueva media muestral: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = 0.8$$ Ahora la variable es: $$\bar{X} \sim N(65, 0.8)$$ Se nos pide calcular la probabilidad: $$P(64 \le \bar{X} \le 65)$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de usar el $n$ que te indica cada apartado, ya que la desviación típica de la media muestral depende directamente de él.

Para calcular probabilidades en una Normal no estándar, debemos tipificar para pasar a la variable $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{\bar{X} - 65}{0.8}$$ Transformamos los límites del intervalo: - Para $\bar{X} = 64 \implies Z = \dfrac{64 - 65}{0.8} = \dfrac{-1}{0.8} = -1.25$ - Para $\bar{X} = 65 \implies Z = \dfrac{65 - 65}{0.8} = 0$ Por lo tanto: $$P(64 \le \bar{X} \le 65) = p(-1.25 \le Z \le 0)$$

Calculamos la probabilidad en la Normal estándar $N(0, 1)$: $$p(-1.25 \le Z \le 0) = p(Z \le 0) - p(Z \le -1.25)$$ Sabemos que: - $p(Z \le 0) = 0.5$ (por simetría de la campana). - Para el valor negativo: $p(Z \le -1.25) = 1 - p(Z \le 1.25)$. Buscamos $1.25$ en la tabla de la $N(0, 1)$: $$p(Z \le 1.25) = 0.8944$$ Sustituimos: $$p(Z \le -1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$$ Finalmente: $$P(64 \le \bar{X} \le 65) = 0.5 - 0.1056 = 0.3944$$ 💡 **Tip:** Si el intervalo está por debajo de la media (como en este caso, de 64 a 65 cuando la media es 65), es normal que los valores de $Z$ sean negativos o cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.3944}$$ (La probabilidad es del **39.44%**)