Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (1.7 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A^2 \cdot X + C = 2B$.** Primero, despejamos $X$ de la ecuación matricial: $$A^2 \cdot X = 2B - C$$ Para aislar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A^2$, denotada como $(A^2)^{-1}$: $$X = (A^2)^{-1} \cdot (2B - C)$$ Calculamos la matriz $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1(1) + 2(-1) & 1(2) + 2(-3) \\ -1(1) + (-3)(-1) & -1(2) + (-3)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos filas de la primera por columnas de la segunda. El producto de matrices no es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$).

Calculamos el lado derecho de la ecuación, la matriz $D = 2B - C$: $$2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos $C$: $$D = 2B - C = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 4 - (-1) & -2 - 1 & 6 - 0 \\ 8 - 2 & 0 - 3 & 2 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 6 \\ 6 & -3 & 4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{2B - C = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 6 \\ 6 & -3 & 4 \end{pmatrix}}$$

Para que la matriz $(A^2)$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero: $$|A^2| = \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(7) - (-4)(2) = -7 + 8 = 1 \neq 0$$ Como $|A^2|=1$, calculamos la matriz adjunta de su traspuesta: 1. Matriz de menores: $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ 2. Matriz de cofactores: $\text{Cof}(A^2) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ 3. Traspuesta de la adjunta: $\text{adj}(A^2) = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ Inversa: $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \cdot \text{adj}(A^2) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

Finalmente, calculamos $X = (A^2)^{-1} \cdot (2B - C)$: $$X = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -3 & 6 \\ 6 & -3 & 4 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 7(5)+4(6) & 7(-3)+4(-3) & 7(6)+4(4) \\ -2(5)-1(6) & -2(-3)-1(-3) & -2(6)-1(4) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 35+24 & -21-12 & 42+16 \\ -10-6 & 6+3 & -12-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59 & -33 & 58 \\ -16 & 9 & -16 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 59 & -33 & 58 \\ -16 & 9 & -16 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.8 puntos) ¿Qué dimensiones deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que las matrices $(B + C) \cdot P$ y $B^t \cdot Q \cdot C^t$ sean cuadradas?** Analizamos primero la expresión $(B + C) \cdot P$: - $B$ y $C$ son matrices de dimensión $2 \times 3$. Por tanto, su suma $(B+C)$ tiene dimensión **$2 \times 3$**. - Para que el producto $(B+C) \cdot P$ sea posible, el número de filas de $P$ debe coincidir con el número de columnas de $(B+C)$, es decir, **3**. - El resultado de multiplicar una matriz $2 \times 3$ por una $3 \times n$ es una matriz **$2 \times n$**. - Para que esta matriz resultante sea **cuadrada**, el número de filas (2) debe ser igual al de columnas ($n$). Así, **$n = 2$**. ✅ **Resultado para P:** $$\boxed{\text{Dimensión de } P = 3 \times 2}$$

Analizamos la expresión $B^t \cdot Q \cdot C^t$: - $B$ es $2 \times 3$, por lo que su traspuesta $B^t$ es **$3 \times 2$**. - $C$ es $2 \times 3$, por lo que su traspuesta $C^t$ es **$3 \times 2$**. Para que el producto de matrices sea posible y el resultado sea una matriz cuadrada: 1. Para que $B^t \cdot Q$ exista, $Q$ debe tener **2 filas**. 2. Si $Q$ tiene dimensión $2 \times k$, el producto $B^t \cdot Q$ es una matriz **$3 \times k$**. 3. Para que $(B^t \cdot Q) \cdot C^t$ exista, las columnas de $(B^t \cdot Q)$ deben coincidir con las filas de $C^t$, por lo que **$k = 3$**. 4. La dimensión de la matriz final resultante es (filas de la primera) $\times$ (columnas de la última), es decir, **$3 \times 2$**. 💡 **Nota:** Una matriz $3 \times 2$ nunca puede ser cuadrada. No obstante, en este tipo de ejercicios suele haber una errata en el enunciado y la expresión suele ser $B \cdot Q \cdot C^t$ (que daría una $2 \times 2$) o $B^t \cdot Q \cdot C$ (que daría una $3 \times 3$). Si asumimos la estructura estándar para que sea cuadrada: Si la expresión fuera $B \cdot Q \cdot C^t$: $$(2 \times 3) \cdot (3 \times 3) \cdot (3 \times 2) = 2 \times 2 \implies Q \text{ sería } 3 \times 3$$ Si la expresión fuera $B^t \cdot Q \cdot C$: $$(3 \times 2) \cdot (2 \times 2) \cdot (2 \times 3) = 3 \times 3 \implies Q \text{ sería } 2 \times 2$$ Siguiendo estrictamente la condición de que el producto sea posible y basándonos en la estructura más probable del examen: ✅ **Resultado para Q (según el caso de mayor coherencia):** $$\boxed{\text{Dimensión de } Q = 2 \times 3 \text{ para que el producto exista, pero resultará en } 3 \times 2}$$