Estudio de una función a partir de su derivada y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$, así como la existencia de extremos.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$, debemos analizar el signo de su derivada $f'(x)$. El enunciado nos indica que $f'(x)$ es una parábola con las siguientes características: - Corta al eje $X$ en $x = -1$ y $x = 3$ (puntos $(-1, 0)$ y $(3, 0)$). Estos son los puntos críticos donde $f'(x) = 0$. - El vértice está en $(1, -2)$. Como la ordenada del vértice es negativa ($y = -2$) y los puntos de corte están a sus lados, la parábola se abre hacia arriba. Esto significa que: - $f'(x) \gt 0$ para los valores de $x$ fuera de las raíces. - $f'(x) \lt 0$ para los valores de $x$ entre las raíces. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece.

Utilizamos los puntos de corte de $f'(x)$ con el eje de abscisas para dividir la recta real y estudiar el signo de la derivada en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento:** $f(x)$ es creciente donde $f'(x) \gt 0$, es decir, en $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$. **Intervalos de decrecimiento:** $f(x)$ es decreciente donde $f'(x) \lt 0$, es decir, en $(-1, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1) \cup (3, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-1, 3)}$$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada analizado en el paso anterior: - En $x = -1$, la función pasa de crecer a decrecer ($f'$ pasa de $+$ a $-$). Por tanto, existe un **máximo relativo**. - En $x = 3$, la función pasa de decrecer a crecer ($f'$ pasa de $-$ a $+$). Por tanto, existe un **mínimo relativo**. Aunque conocemos la abscisa ($x$), no podemos determinar la ordenada ($y$) de estos extremos porque no conocemos la expresión analítica de $f(x)$ ni una condición inicial suficiente para integrarla completamente en este apartado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = -1, \quad \text{Mínimo relativo en } x = 3}$$

**b) (1 punto) Si $f(1) = 2$, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente a $f$ en el punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, para $x = 1$: 1. El punto de tangencia es $(1, f(1))$. El enunciado nos dice que $f(1) = 2$. 2. La pendiente de la recta tangente es $m = f'(1)$. El enunciado indica que el vértice de la parábola derivada $f'$ es el punto $(1, -2)$, por lo tanto, $f'(1) = -2$. Sustituimos los valores en la fórmula: $$y - 2 = -2(x - 1)$$ Operamos para simplificar la ecuación: $$y - 2 = -2x + 2$$ $$y = -2x + 4$$ 💡 **Tip:** El valor de la derivada en un punto coincide siempre con la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2x + 4}$$