Probabilidad: Operaciones con sucesos e independencia

**a) (1 punto) Halle la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - $P(A) = 0.3$ - $P(B) = 0.6$ - $P(A^C \cap B^C) = 0.28$ Para resolver el apartado a), necesitamos encontrar la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. El dato $P(A^C \cap B^C)$ es clave. Según las **Leyes de De Morgan**, la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$A^C \cap B^C = (A \cup B)^C$$ Por tanto: $$P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C) = 1 - P(A \cup B)$$ Sustituimos el valor conocido: $$0.28 = 1 - P(A \cup B) \implies P(A \cup B) = 1 - 0.28 = 0.72$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: $P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C)$ y $P(A^C \cup B^C) = P((A \cap B)^C)$. Son fundamentales en problemas donde aparecen sucesos contrarios.

Una vez que tenemos la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$, utilizamos la fórmula general de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$0.72 = 0.3 + 0.6 - P(A \cap B)$$ $$0.72 = 0.9 - P(A \cap B)$$ Despejamos la intersección: $$P(A \cap B) = 0.9 - 0.72 = 0.18$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.18}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que no ha ocurrido $B$.** El enunciado nos pide calcular $P(A | B^C)$. Por la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(A | B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$$ Calculamos cada término por separado: 1. **Denominador:** $P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$. 2. **Numerador:** La probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$ se calcula restando a $A$ la parte que comparte con $B$: $$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.18 = 0.12$$ Ahora sustituimos en la fórmula de la condicionada: $$P(A | B^C) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la diferencia $P(A \setminus B) = P(A \cap B^C)$ siempre es $P(A) - P(A \cap B)$. Visualizarlo con un diagrama de Venn ayuda a no olvidar restar la intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | B^C) = 0.3}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Son $A$ y $B$ independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Comprobamos si se cumple con nuestros valores: - Lado izquierdo: $P(A \cap B) = 0.18$ (calculado en el apartado a). - Lado derecho: $P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18$. Como $0.18 = 0.18$, la condición se cumple estrictamente. También podríamos haberlo comprobado viendo que $P(A | B^C) = 0.3$, que es igual a $P(A) = 0.3$. Si el hecho de que no ocurra $B$ no altera la probabilidad de $A$, los sucesos son independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$