Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo, al 95% de confianza, para la proporción real de artículos con este tipo de defecto e interprete el resultado obtenido.** En primer lugar, extraemos la información de la muestra proporcionada por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 2000$ - Número de artículos defectuosos: $x = 19$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \dfrac{19}{2000} = 0.0095$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.0095 = 0.9905$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestro mejor estimador puntual de la proporción real de la población.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, por lo que $\alpha = 0.05$. 2. Repartimos el error en las dos colas de la distribución normal: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \dfrac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.9750.$$ Buscando en la tabla, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9750$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ (90%), $1.96$ (95%) y $2.575$ (99%).

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \; , \; \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\dfrac{0.0095 \cdot 0.9905}{2000}}$$ $$E = 1.96 \cdot \sqrt{0.000004704875} = 1.96 \cdot 0.002169 \approx 0.00425$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.0095 - 0.00425 = 0.00525$ - Límite superior: $0.0095 + 0.00425 = 0.01375$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.00525, \; 0.01375)}$$

Interpretar el resultado significa explicar qué significan esos números en el contexto del problema: **Interpretación:** Tenemos una confianza del **95%** de que la proporción real de artículos con defectos en su envoltorio en toda la cadena de hipermercados se encuentra entre el **0.525%** y el **1.375%**. En otras palabras, si repitiéramos este estudio muchas veces con diferentes muestras, el 95% de los intervalos calculados contendrían el verdadero valor de la proporción poblacional.

**b) (1 punto) ¿Cuántos artículos, como mínimo, deberá seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 1%?** Se nos pide calcular el tamaño muestral $n$ con los siguientes datos: - Nivel de confianza $99\% \implies 1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$. - Error máximo admisible $E = 1\% = 0.01$. - Como disponemos de una estimación previa de la proporción del apartado anterior, usamos $\hat{p} = 0.0095$ y $\hat{q} = 0.9905$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $99\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \dfrac{0.01}{2} = 0.9950$$ Buscando en la tabla (o haciendo la media entre los valores más cercanos $2.57$ y $2.58$): $$z_{\alpha/2} = 2.575$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \dfrac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \dfrac{(2.575)^2 \cdot 0.0095 \cdot 0.9905}{(0.01)^2}$$ $$n = \dfrac{6.630625 \cdot 0.00940975}{0.0001}$$ $$n = \dfrac{0.0623927}{0.0001} \approx 623.927$$ Como el número de artículos debe ser un número entero y queremos garantizar que el error sea **a lo sumo** del 1%, siempre debemos **redondear hacia arriba** al entero siguiente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{n \ge 624 \text{ artículos}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño, siempre redondeamos al siguiente entero para cumplir con la restricción del error.