Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan la región: 1. $r_1: 2x - y = -2 \implies y = 2x + 2$ 2. $r_2: 4x - 2y = -10 \implies 2x - y = -5 \implies y = 2x + 5$ 3. $r_3: 5x - y = 4 \implies y = 5x - 4$ 4. $r_4: x = 0$ (el eje $Y$) Calculamos un par de puntos para cada recta para poder dibujarlas: - Para $r_1$: si $x=0, y=2$; si $x=-1, y=0$. Puntos $(0, 2)$ y $(-1, 0)$. - Para $r_2$: si $x=0, y=5$; si $x=-2.5, y=0$. Puntos $(0, 5)$ y $(-2.5, 0)$. - Para $r_3$: si $x=0, y=-4$; si $x=1, y=1$. Puntos $(0, -4)$ y $(1, 1)$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta es el semiplano solución, tomamos un punto de prueba como el $(0,0)$. Por ejemplo, en $2x - y \leq -2$, probamos: $2(0) - 0 = 0 \leq -2$, lo cual es **Falso**. Por tanto, la región está en el lado opuesto al origen.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las intersecciones de las rectas que delimitan la región: - **Vértice $A$ ($r_1 \cap r_4$):** $$\begin{cases} y = 2x + 2 \\ x = 0 \end{cases} \implies y = 2(0) + 2 = 2 \implies \mathbf{A(0, 2)}$$ - **Vértice $B$ ($r_2 \cap r_4$):** $$\begin{cases} y = 2x + 5 \\ x = 0 \end{cases} \implies y = 2(0) + 5 = 5 \implies \mathbf{B(0, 5)}$$ - **Vértice $C$ ($r_2 \cap r_3$):** $$\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = 5x - 4 \end{cases} \implies 2x + 5 = 5x - 4 \implies 9 = 3x \implies x = 3$$ Sustituyendo $x=3$ en $y = 2(3) + 5 = 11 \implies \mathbf{C(3, 11)}$ - **Vértice $D$ ($r_1 \cap r_3$):** $$\begin{cases} y = 2x + 2 \\ y = 5x - 4 \end{cases} \implies 2x + 2 = 5x - 4 \implies 6 = 3x \implies x = 2$$ Sustituyendo $x=2$ en $y = 2(2) + 2 = 6 \implies \mathbf{D(2, 6)}$ Comprobamos que estos puntos satisfacen todas las inecuaciones. La región es un cuadrilátero convexo. ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(0, 2), \quad B(0, 5), \quad C(3, 11), \quad D(2, 6)}$$

**b) (1 punto) Calcule los valores extremos de la función $F(x, y) = 6x - 3y$, en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 6x - 3y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $A(0, 2): F(0, 2) = 6(0) - 3(2) = 0 - 6 = -6$ - En $B(0, 5): F(0, 5) = 6(0) - 3(5) = 0 - 15 = -15$ - En $C(3, 11): F(3, 11) = 6(3) - 3(11) = 18 - 33 = -15$ - En $D(2, 6): F(2, 6) = 6(2) - 3(6) = 12 - 18 = -6$ 💡 **Tip:** Si la función objetivo toma el mismo valor máximo (o mínimo) en dos vértices contiguos, entonces también toma ese mismo valor en todos los puntos del segmento que los une.

Observamos que: - El valor máximo es **$-6$** y se alcanza en los vértices $A(0, 2)$ y $D(2, 6)$. Como son vértices contiguos de la recta $2x - y = -2$, el máximo se alcanza en todos los puntos del **segmento $AD$**. - El valor mínimo es **$-15$** y se alcanza en los vértices $B(0, 5)$ y $C(3, 11)$. Como son vértices contiguos de la recta $4x - 2y = -10$, el mínimo se alcanza en todos los puntos del **segmento $BC$**. Esto sucede porque la función objetivo $F(x, y) = 3(2x - y)$ es proporcional a las ecuaciones de las rectas que forman los bordes superior e inferior de la región. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Máximo: } -6 \text{ en el segmento } AD \\ \text{Mínimo: } -15 \text{ en el segmento } BC \end{matrix}}$$