Continuidad, derivabilidad y estudio de una función a trozos

**a) (1.3 puntos) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua en $x = 2$. Para ese valor de $a$ obtenido, ¿es derivable la función en $x = 2$?** Para que la función sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** $f(2) = \frac{1}{2-1} = 1$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + a) = 2^2 - 4(2) + a = 4 - 8 + a = a - 4.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1.$$ Para que sea continua, igualamos los límites: $$a - 4 = 1 \implies a = 5.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 5}$$

Para $a = 5$, ya sabemos que la función es continua. Ahora estudiamos su derivabilidad. Primero calculamos la función derivada en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x \lt 2 \\ -\frac{1}{(x-1)^2} & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 2$: - **Derivada por la izquierda:** $f'(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (2x - 4) = 2(2) - 4 = 0$. - **Derivada por la derecha:** $f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} -\frac{1}{(x-1)^2} = -\frac{1}{(2-1)^2} = -1$. Como $f'(2^-) \ne f'(2^+)$, las pendientes no coinciden en el punto de salto entre ramas. 💡 **Tip:** Una función solo puede ser derivable si primero es continua. Si las derivadas laterales son distintas, la función presenta un "punto anguloso". ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función NO es derivable en } x = 2}$$

**b) (1.2 puntos) Para $a = 4$, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.** Con $a = 4$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 4 & \text{si } x \lt 2 \\ \frac{1}{x-1} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$ Para la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x)$: - Si $x \lt 2$: $f'(x) = 2x - 4$. Igualando a cero, $2x = 4 \implies x = 2$. En el intervalo $(-\infty, 2)$, $f'(x)$ es negativa (por ejemplo, en $x=0$, $f'(0)=-4$). - Si $x \gt 2$: $f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$. Esta expresión siempre es negativa para cualquier $x \in (2, +\infty)$ ya que el denominador al cuadrado es positivo y tiene un signo menos delante. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & - \\\hline \text{Monotonía} & f(x) \searrow & \text{Discont.} & f(x) \searrow \end{array}$$ Nota: Para $a=4$, la función es discontinua en $x=2$ (salto de $y=0$ a $y=1$), pero en ambas ramas decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es decreciente en } (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)}$$

Estudiamos los tres tipos de asíntotas: 1. **Asíntotas Verticales (AV):** - En la primera rama (polinómica), no hay. - En la segunda rama $\frac{1}{x-1}$, el denominador se anula en $x = 1$. Sin embargo, esta rama solo está definida para $x \ge 2$, por lo que $x=1$ no genera una asíntota. 2. **Asíntotas Horizontales (AH):** - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 4x + 4) = +\infty \quad \text{(No hay AH)}$$ - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-1} = 0$$ Hay una asíntota horizontal en **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$. 3. **Asíntotas Oblicuas (AO):** - No hay por la derecha (porque hay AH). - Por la izquierda: $m = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-4x+4}{x} = -\infty$, por lo que no hay AO. 💡 **Tip:** Si existe una asíntota horizontal en un extremo ($\pm\infty$), no puede existir asíntota oblicua en ese mismo extremo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: No existen; AH: } y = 0 \text{ (en } +\infty); \text{ AO: No existen}}$$