Probabilidad condicionada: sala de conciertos y aparcamiento

**a) (1.5 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que la sala de conciertos esté llena?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El aparcamiento está completo. - $\bar{A}$: El aparcamiento NO está completo. - $S$: La sala de conciertos está llena. - $\bar{S}$: La sala de conciertos NO está llena. Extraemos los datos del enunciado: - $P(A) = 0.85 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0.85 = 0.15$ - $P(S|A) = 0.90 \implies P(\bar{S}|A) = 1 - 0.90 = 0.10$ - $P(\bar{S}|\bar{A}) = 0.22 \implies P(S|\bar{A}) = 1 - 0.22 = 0.78$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad compuesta, lo más útil es organizar la información en un diagrama de árbol para visualizar todas las ramas posibles.

Para calcular la probabilidad de que la sala esté llena, $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La sala puede estar llena bajo dos escenarios: que el aparcamiento esté completo o que no lo esté. $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(\bar{A}) \cdot P(S|\bar{A})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(S) = 0.85 \cdot 0.90 + 0.15 \cdot 0.78$$ $$P(S) = 0.765 + 0.117$$ $$P(S) = 0.882$$ 💡 **Recuerda:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso deseado ($S$ en este caso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.882}$$

**b) (1 punto) Si se sabe que la sala de conciertos está llena, ¿cuál es la probabilidad de que el aparcamiento esté completo?** Nos piden la probabilidad de que el aparcamiento esté completo sabiendo que la sala está llena, es decir, $P(A|S)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)}$$ Ya tenemos todos los datos necesarios: - $P(A \cap S) = 0.85 \cdot 0.90 = 0.765$ - $P(S) = 0.882$ (calculado en el apartado anterior) Realizamos la división: $$P(A|S) = \frac{0.765}{0.882} \approx 0.867346...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(A|S) \approx 0.8673$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (la sala está llena) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (el aparcamiento estaba completo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|S) \approx 0.8673}$$