Muestreo estratificado y distribución muestral de medias

**a) (1.25 puntos) Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas mayores de edad de un municipio, cuyos estratos son los siguientes intervalos de edades, en años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 46 a 60 y mayores de 60. En el primer intervalo hay 7500 personas, en el segundo hay 8400, en el tercero 5700 y en el cuarto 3000. Calcule el tamaño de la muestra total y su composición, sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer estrato.** Primero, anotamos el tamaño de cada estrato poblacional ($N_i$) y el tamaño del primer estrato de la muestra ($n_1$): - Estrato 1 ($N_1$): $7500$ personas. Muestra ($n_1$): $375$. - Estrato 2 ($N_2$): $8400$ personas. - Estrato 3 ($N_3$): $5700$ personas. - Estrato 4 ($N_4$): $3000$ personas. Calculamos la población total ($N$): $$N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 7500 + 8400 + 5700 + 3000 = 24600$$ 💡 **Tip:** En el muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, el tamaño de la muestra de cada estrato es proporcional al tamaño de dicho estrato en la población.

La condición de afijación proporcional establece que: $$\frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3} = \frac{n_4}{N_4} = \frac{n}{N}$$ Donde $n$ es el tamaño de la muestra total. Usamos los datos del primer estrato para hallar la constante de proporcionalidad ($k$): $$k = \frac{n_1}{N_1} = \frac{375}{7500} = 0.05$$ Ahora podemos hallar el tamaño de la muestra total ($n$): $$n = N \cdot k = 24600 \cdot 0.05 = 1230$$ ✅ **Resultado (Muestra total):** $$\boxed{n = 1230 \text{ personas}}$$

Calculamos el número de personas a seleccionar de cada uno de los estratos restantes multiplicando su población por la constante $k=0.05$: - Estrato 2: $n_2 = N_2 \cdot 0.05 = 8400 \cdot 0.05 = 420$ - Estrato 3: $n_3 = N_3 \cdot 0.05 = 5700 \cdot 0.05 = 285$ - Estrato 4: $n_4 = N_4 \cdot 0.05 = 3000 \cdot 0.05 = 150$ Comprobamos que la suma sea correcta: $375 + 420 + 285 + 150 = 1230$. ✅ **Resultado (Composición):** $$\boxed{n_1=375, n_2=420, n_3=285, n_4=150}$$

**b) (1.25 puntos) Dada la población $\{2, 4, 6\}$ construya todas las muestras posibles de tamaño 2, que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas las muestras.** En el muestreo aleatorio simple (MAS) de una población finita para el estudio de medias muestrales, se considera que el muestreo es con reemplazamiento y el orden importa. Las muestras posibles de tamaño $n=2$ son: $$(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)$$ Existen un total de $3^2 = 9$ muestras posibles. 💡 **Tip:** El número de muestras con reemplazamiento es $N^n$, donde $N$ es el tamaño de la población y $n$ el de la muestra.

Calculamos la media de cada una de las 9 muestras $(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2})$: 1. $(2, 2) \to \bar{x} = 2$ 2. $(2, 4) \to \bar{x} = 3$ 3. $(2, 6) \to \bar{x} = 4$ 4. $(4, 2) \to \bar{x} = 3$ 5. $(4, 4) \to \bar{x} = 4$ 6. $(4, 6) \to \bar{x} = 5$ 7. $(6, 2) \to \bar{x} = 4$ 8. $(6, 4) \to \bar{x} = 5$ 9. $(6, 6) \to \bar{x} = 6$ Resumen de las medias muestrales y sus frecuencias: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \bar{x}_i & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline f_i & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \end{array}$$

Calculamos primero la media de todas estas medias muestrales (esperanza de la media muestral, $\mu_{\bar{x}}$): $$\mu_{\bar{x}} = \frac{\sum \bar{x}_i \cdot f_i}{n_{total}} = \frac{2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot 3 + 5\cdot 2 + 6\cdot 1}{9} = \frac{2+6+12+10+6}{9} = \frac{36}{9} = 4$$ Ahora calculamos la varianza de las medias muestrales ($\sigma_{\bar{x}}^2$): $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sum (\bar{x}_i^2 \cdot f_i)}{9} - (\mu_{\bar{x}})^2$$ $$\sum (\bar{x}_i^2 \cdot f_i) = 2^2\cdot 1 + 3^2\cdot 2 + 4^2\cdot 3 + 5^2\cdot 2 + 6^2\cdot 1$$ $$= 4 + 18 + 48 + 50 + 36 = 156$$ $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{156}{9} - 4^2 = \frac{156}{9} - 16 = \frac{156 - 144}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** También se puede comprobar usando la propiedad $\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$. La varianza de la población $\{2, 4, 6\}$ es $\frac{8}{3}$. Así, $\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{8/3}{2} = \frac{4}{3}$. ✅ **Resultado (Varianza):** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{4}{3} \approx 1.333}$$