Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede rechazar que la campaña ha sido un éxito y que, por tanto, el porcentaje de habitantes con obesidad o sobrepeso no ha disminuido?** Primero, definimos el parámetro de estudio: $p =$ proporción de habitantes de la comunidad con obesidad o sobrepeso. Queremos contrastar si la campaña ha tenido éxito, es decir, si el porcentaje ha disminuido por debajo del 32% ($p \lt 0.32$). Por tanto, planteamos un contraste de hipótesis unilateral a la izquierda: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0.32$ (La campaña no ha tenido éxito, el porcentaje no ha disminuido). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.32$ (La campaña ha tenido éxito, el porcentaje ha disminuido). 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre incluye la igualdad y representa el "status quo" o la situación que queremos intentar desmentir.

Extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 450$. - Habitantes sin obesidad ni sobrepeso: $324$. - Habitantes con obesidad o sobrepeso en la muestra ($x$): $450 - 324 = 126$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{126}{450} = 0.28$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien los datos. El enunciado da el número de personas que **no** tienen obesidad, pero nuestra variable de estudio es el porcentaje de personas que **sí** la tienen. $$\boxed{\hat{p} = 0.28}$$

Para realizar el contraste, utilizamos el estadístico de contraste para proporciones, que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta ($p_0 = 0.32$): $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: - $p_0 = 0.32$ - $q_0 = 1 - 0.32 = 0.68$ - $n = 450$ - $\hat{p} = 0.28$ $$Z = \frac{0.28 - 0.32}{\sqrt{\frac{0.32 \cdot 0.68}{450}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{\frac{0.2176}{450}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{0.00048356}} = \frac{-0.04}{0.02199} \approx -1.819$$ 💡 **Tip:** Antes de usar la normal, comprobamos que $n \cdot p_0 \ge 5$ y $n \cdot q_0 \ge 5$. En este caso $450 \cdot 0.32 = 144$ y $450 \cdot 0.68 = 306$, por lo que la aproximación es válida. $$\boxed{Z \approx -1.82}$$

Para $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$. Mirando en la tabla de la Normal estándar: $P(Z \le z_{\alpha}) = 0.99 \implies z_{0.01} = 2.33$ (aproximadamente). Por lo tanto, la región de rechazo es $Z \lt -2.33$. Comparamos nuestro estadístico: $-1.82 \gt -2.33$ Como el valor del estadístico **no cae en la región de rechazo** (está en la región de aceptación), no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha=1\% \text{ NO se puede rechazar } H_0. \text{ No podemos afirmar que la campaña haya sido un éxito.}}$$

**b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es del 10%?** Cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.10$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.10$. En la tabla de la Normal: $P(Z \le z_{\alpha}) = 0.90 \implies z_{0.10} = 1.28$ (aproximadamente). La nueva región de rechazo es $Z \lt -1.28$. Comparamos nuestro estadístico: $-1.82 \lt -1.28$ En este caso, el valor del estadístico **sí cae en la región de rechazo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha=10\% \text{ SÍ se rechaza } H_0. \text{ Existe evidencia para afirmar que la campaña ha sido un éxito.}}$$