Probabilidad en estudios universitarios

**a) Construir un diagrama de árbol.** Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información del enunciado: - $A$: El alumno acaba la carrera. - $C$: El alumno cambia de carrera. - $D$: El alumno deja los estudios. - $H$: El alumno es chico (hombre). - $M$: El alumno es chica (mujer). Datos del enunciado: - $P(A) = 0.60$ - $P(C) = 0.25$ - $P(D) = 0.15$ - Condicionadas: $P(H|A) = 0.45$, $P(M|C) = 0.30$ (por tanto $P(H|C) = 0.70$), $P(H|D) = 0.50$. 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre 1. Por ejemplo, $P(H|C) + P(M|C) = 0.70 + 0.30 = 1$.

**b) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?** Para calcular la probabilidad total de que el alumno sea chico ($H$), debemos sumar las probabilidades de todas las ramas que terminan en "chico". Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(H) = P(A) \cdot P(H|A) + P(C) \cdot P(H|C) + P(D) \cdot P(H|D)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama de árbol: $$P(H) = (0.60 \cdot 0.45) + (0.25 \cdot 0.70) + (0.15 \cdot 0.50)$$ $$P(H) = 0.27 + 0.175 + 0.075$$ $$P(H) = 0.52$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser chico) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (acabar, cambiar o dejar estudios). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.52}$$ (Existe un 52% de probabilidad de que el alumno elegido sea chico).

**c) Elegido un chico al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de carrera?** En este apartado nos piden la probabilidad de que un alumno cambie de carrera ($C$) sabiendo que es chico ($H$). Se trata de una **probabilidad condicionada** $P(C|H)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada (o Teorema de Bayes): $$P(C|H) = \frac{P(C \cap H)}{P(H)}$$ Ya conocemos los valores necesarios del paso anterior: - $P(C \cap H) = P(C) \cdot P(H|C) = 0.25 \cdot 0.70 = 0.175$ - $P(H) = 0.52$ Calculamos la división: $$P(C|H) = \frac{0.175}{0.52} \approx 0.3365$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(H|C)$ (probabilidad de ser chico si cambia de carrera, que es 0.70) con $P(C|H)$ (probabilidad de cambiar de carrera si es chico). El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|H) = \frac{175}{520} = \frac{35}{104} \approx 0.3365}$$ (Aproximadamente un 33.65% de los chicos cambian de carrera).