Análisis de ganancias en una empresa de Energías Renovables

**a) ¿Cuánto gana la empresa transcurridos 6 meses desde su creación? ¿Y transcurridos 10 años?** Para calcular las ganancias, debemos evaluar la función $G(x)$ en los valores de $x$ correspondientes. 1. **A los 6 meses ($x = 6$):** Como $0 \le 6 \le 8$, utilizamos la primera rama de la función: $$G(6) = \frac{2(6)}{3} = \frac{12}{3} = 4.$$ Dado que las ganancias están expresadas en miles de euros, la empresa gana $4000$ euros. 2. **A los 10 años:** Primero, debemos pasar el tiempo a meses, ya que $x$ se mide en meses. $$10 \text{ años} = 10 \cdot 12 = 120 \text{ meses}.$$ Como $120 > 8$, utilizamos la segunda rama de la función: $$G(120) = \frac{5(120) + 8}{2(120) - 7} = \frac{600 + 8}{240 - 7} = \frac{608}{233} \approx 2.6094.$$ Esto equivale a aproximadamente $2609.44$ euros. 💡 **Tip:** Presta mucha atención a las unidades. Si la variable $x$ está en meses, cualquier dato dado en años debe convertirse multiplicando por 12. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A los 6 meses gana } 4000 \text{ € y a los 10 años aproximadamente } 2609.44 \text{ €}}$$

**b) Dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dichas ganancias.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la derivada $G'(x)$ en cada rama. **Rama 1 ($0 \lt x \lt 8$):** $$G_1(x) = \frac{2}{3}x \implies G'_1(x) = \frac{2}{3}.$$ Como $G'_1(x) = \frac{2}{3} > 0$ para todo $x \in (0, 8)$, la función es **creciente** en este intervalo. **Rama 2 ($x > 8$):** Para derivar $G_2(x) = \frac{5x + 8}{2x - 7}$, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$G'_2(x) = \frac{5(2x - 7) - (5x + 8)2}{(2x - 7)^2} = \frac{10x - 35 - 10x - 16}{(2x - 7)^2} = \frac{-51}{(2x - 7)^2}.$$ Como el denominador $(2x - 7)^2$ siempre es positivo en su dominio ($x > 8$) y el numerador es $-51$, entonces $G'_2(x) < 0$ para todo $x > 8$. Por tanto, la función es **decreciente** en este intervalo. 💡 **Tip:** Una función es creciente si su derivada es positiva y decreciente si su derivada es negativa.

Resumimos el comportamiento de la función en la siguiente tabla de signos para $G'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 8) & 8 & (8, +\infty) \\ \hline G'(x) & + & \nexists & - \\ \hline G(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ (Nota: En $x=8$ la función es continua ya que $\lim_{x\to 8^-} G(x) = 16/3$ y $\lim_{x\to 8^+} G(x) = 48/9 = 16/3$, pero no es derivable porque las derivadas laterales no coinciden). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en: } (0, 8) \text{ y Decreciente en: } (8, +\infty)}$$

**c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.** Analizar qué sucede a medida que transcurre el tiempo significa calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} G(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 8}{2x - 7}.$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 8}{2x - 7} = \frac{5}{2} = 2.5.$$ Esto significa que, a largo plazo, las ganancias de la empresa tienden a estabilizarse en $2.5$ miles de euros, es decir, $2500$ euros. 💡 **Tip:** Cuando una función tiende a un valor constante en el infinito, decimos que tiene una asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias se estabilizan en } 2500 \text{ €}}$$