Problema de sistemas de ecuaciones: compra de toallas

Para resolver este problema, lo primero es identificar las incógnitas que queremos calcular: * $x$: número de toallas de baño. * $y$: número de toallas para manos. * $z$: número de toallas para pies. 💡 **Tip:** Definir claramente qué representa cada variable es fundamental para poder plantear correctamente las ecuaciones del sistema.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para obtener tres ecuaciones: 1. **Total de toallas:** Se compraron 200 toallas en total: $$x + y + z = 200$$ 2. **Gasto total:** El gasto total fue de 7.600 euros, sabiendo los precios unitarios (50€, 40€ y 25€): $$50x + 40y + 25z = 7.600$$ 3. **Relación entre tipos de toallas:** "Por cada tres toallas para manos se compraron dos de pies". Esto significa que la proporción es $\frac{y}{z} = \frac{3}{2}$. Multiplicando en cruz: $$2y = 3z \implies 2y - 3z = 0$$ 💡 **Tip:** En la segunda ecuación, podemos simplificar dividiendo todos los términos entre 5 para facilitar los cálculos: $$10x + 8y + 5z = 1.520$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 200 \\ 10x + 8y + 5z = 1.520 \\ 2y - 3z = 0 \end{cases}$$

Escribimos la matriz ampliada del sistema y aplicamos el método de Gauss para obtener una matriz escalonada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 200 \\ 10 & 8 & 5 & 1.520 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos la operación $F_2 \to F_2 - 10F_1$ para hacer un cero en la primera columna: $$F_2: 10 - 10(1) = 0$$ $$8 - 10(1) = -2$$ $$5 - 10(1) = -5$$ $$1.520 - 10(200) = 1.520 - 2.000 = -480$$ La matriz queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & -2 & -5 & -480 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Ahora, hacemos un cero en la segunda columna sumando la segunda y tercera fila ($F_3 \to F_3 + F_2$): $$F_3: 0 + 0 = 0$$ $$2 + (-2) = 0$$ $$-3 + (-5) = -8$$ $$0 + (-480) = -480$$ La matriz escalonada resultante es: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 200 \\ 0 & -2 & -5 & -480 \\ 0 & 0 & -8 & -480 \end{array}\right)$$

A partir de la matriz escalonada, obtenemos los valores de las variables empezando por la última fila: 1. **Para $z$:** $$-8z = -480 \implies z = \frac{-480}{-8} = 60$$ 2. **Para $y$:** Sustituimos $z = 60$ en la segunda ecuación ($-2y - 5z = -480$): $$-2y - 5(60) = -480$$ $$-2y - 300 = -480$$ $$-2y = -480 + 300$$ $$-2y = -180 \implies y = \frac{-180}{-2} = 90$$ 3. **Para $x$:** Sustituimos $y = 90$ y $z = 60$ en la primera ecuación ($x + y + z = 200$): $$x + 90 + 60 = 200$$ $$x + 150 = 200 \implies x = 200 - 150 = 50$$

Concluimos el ejercicio indicando la cantidad de cada tipo de toalla comprada. La casa rural ha comprado: * **50 toallas de baño.** * **90 toallas para manos.** * **60 toallas para pies.** Podemos comprobar que los resultados son correctos: - Total: $50 + 90 + 60 = 200$ toallas. - Precio: $50(50) + 40(90) + 25(60) = 2.500 + 3.600 + 1.500 = 7.600$ euros. - Relación: $\frac{y}{z} = \frac{90}{60} = \frac{3}{2}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 50, \quad y = 90, \quad z = 60}$$