Inferencia de proporciones y tamaño muestral

**a) Sabiendo que para obtener dicha proporción se han realizado 1.050 encuestas telefónicas, construir un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 0.8.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el problema para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 1050$ - Proporción muestral a favor: $\hat{p} = 57,2\% = 0,572$ - Proporción muestral en contra (o resto): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,572 = 0,428$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,8$ 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para proporciones, siempre trabajamos con decimales. Recuerda que $\hat{q}$ es el complementario de $\hat{p}$.

Para un nivel de confianza del $80\%$ ($1 - \alpha = 0,8$), calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0,8 = 0,2$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0,1$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,1 = 0,9$. Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0,9$ se encuentra entre $1,28$ (0,8997) y $1,29$ (0,9015). Usualmente se toma el valor más cercano o la media: $$z_{\alpha/2} = 1,28$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, tomamos el más próximo. Para $0,90$, el valor $1,28$ es una aproximación estándar en Bachillerato.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1,28 \cdot \sqrt{\frac{0,572 \cdot 0,428}{1050}}$$ $$E = 1,28 \cdot \sqrt{\frac{0,244816}{1050}} = 1,28 \cdot \sqrt{0,000233158} \approx 1,28 \cdot 0,01527 = 0,0195$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (0,572 - 0,0195, \quad 0,572 + 0,0195)$$ $$I.C. = (0,5525, \quad 0,5915)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = [0,5525, \, 0,5915]}$$

**b) ¿A cuántas personas habría que encuestar para estimar la proporción de respuestas del titular con un error máximo del 1,5% y con un nivel de confianza del 95%?** Identificamos los nuevos requisitos: - Error máximo: $E = 1,5\% = 0,015$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ - Proporción poblacional estimada (usamos la del titular): $\hat{p} = 0,572$ - Por tanto, $\hat{q} = 0,428$ 💡 **Tip:** Cuando nos piden "estimar la proporción del titular", usamos los valores de $\hat{p}$ y $\hat{q}$ calculados en el apartado anterior.

Para un nivel de confianza del $95\%$ ($1 - \alpha = 0,95$): 1. $\alpha = 0,05 \Rightarrow \alpha/2 = 0,025$. 2. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. 3. En las tablas de la Normal $N(0,1)$, el valor exacto para $0,975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1,96$ para el $95\%$ es el más utilizado en estadística; es muy recomendable memorizarlo.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,572 \cdot 0,428}{(0,015)^2}$$ $$n = \frac{3,8416 \cdot 0,244816}{0,000225}$$ $$n = \frac{0,9404953}{0,000225} \approx 4179,98$$ Como el número de personas debe ser un número entero y debemos garantizar que el error no supere el $1,5\%$, redondeamos siempre al siguiente entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 4180 \text{ personas}}$$