Contraste de hipótesis para la media

**a) Plantear el contraste adecuado. Indicar cuál es la región crítica.** Primero definimos la variable y los parámetros conocidos: - $X$: Consumo mensual de energía eléctrica (KWh). - La variable sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Media poblacional bajo estudio: $\mu_0 = 295$ KWh. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 32$ KWh. - Tamaño de la muestra: $n = 400$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 292$ KWh. La noticia afirma que el consumo es "al menos" de 295 KWh. El contraste debe verificar si la media es igual o superior a ese valor frente a la posibilidad de que sea inferior: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \ge 295$ (La noticia es cierta). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \lt 295$ (El consumo es menor de lo que dice la noticia). Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**. La región crítica (o de rechazo) estará formada por los valores de la media muestral significativamente bajos. Para una muestra de tamaño $n$, el estadístico de contraste es: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ La región crítica para un nivel de significación $\alpha$ viene dada por: $$Z \lt -z_{\alpha}$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de "al menos", la hipótesis nula incluye el signo $\ge$, por lo que la sospecha de falsedad (hipótesis alternativa) se sitúa en la cola izquierda ($<$).

Antes de analizar los niveles de significación, calculamos el valor de nuestro estadístico $Z$ con los datos de la muestra: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{32}{\sqrt{400}} = \frac{32}{20} = 1,6$$ Ahora calculamos el valor observado de $Z$ ($Z_{obs}$): $$Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{292 - 295}{1,6} = \frac{-3}{1,6} = -1,875$$ $$\boxed{Z_{obs} = -1,875}$$ Este valor será el que comparemos en los siguientes apartados.

**b) Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar lo que se afirma en la noticia?** Para $\alpha = 0,10$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,10 = 0,90$. Buscando en la tabla: $$z_{0,10} = 1,28$$ La **región crítica** es $Z \lt -1,28$. Comparamos nuestro valor observado: $$Z_{obs} = -1,875 \lt -1,28$$ Como el valor cae dentro de la región crítica, **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la noticia con un nivel de significación del 10%}}$$

**c) ¿Qué se puede decir si el nivel de significación es del 0,5%?** Ahora el nivel de significación es mucho más exigente para rechazar la noticia: $\alpha = 0,005$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Buscando en la tabla: $$z_{0,005} = 2,575$$ La **región crítica** ahora es $Z \lt -2,575$. Comparamos nuestro valor observado: $$Z_{obs} = -1,875 \gt -2,575$$ En este caso, el valor **no cae** en la región crítica (está en la zona de aceptación). 💡 **Tip:** Cuanto más pequeño es $\alpha$, más difícil es rechazar $H_0$ porque la región crítica se hace más pequeña. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con un nivel del 0,5%, se acepta la noticia (no hay pruebas suficientes para rechazar } H_0)}$$