Análisis del rendimiento físico en una carrera

**a) ¿Con qué nivel de rendimiento empieza y con qué nivel de rendimiento acaba la carrera?** El nivel de rendimiento al inicio de la carrera se corresponde con el tiempo $t = 0$. Sustituimos este valor en la función $R(t)$: $$R(0) = 0^3 - 7,5(0)^2 + 12(0) + 13 = 13 \text{ unidades.}$$ La carrera dura 5 horas, por lo que el rendimiento al final se corresponde con $t = 5$. Sustituimos: $$R(5) = 5^3 - 7,5(5)^2 + 12(5) + 13$$ $$R(5) = 125 - 7,5(25) + 60 + 13$$ $$R(5) = 125 - 187,5 + 60 + 13 = 10,5 \text{ unidades.}$$ 💡 **Tip:** En problemas de funciones aplicadas al tiempo, el instante inicial suele ser $t=0$ y el final es el valor máximo del dominio definido (en este caso, 5). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Empieza con 13 unidades y acaba con 10,5 unidades.}}$$

**b) ¿Cuándo alcanza el máximo rendimiento?** Para encontrar cuándo el rendimiento es máximo, debemos buscar los puntos críticos dentro del intervalo $[0, 5]$. Para ello, calculamos la primera derivada de $R(t)$ e igualamos a cero: $$R'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 7,5t^2 + 12t + 13)$$ $$R'(t) = 3t^2 - 15t + 12$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de $t$: $$3t^2 - 15t + 12 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificar: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$t = \frac{5 \pm 3}{2} \implies t_1 = 4, \quad t_2 = 1$$ Los candidatos a máximos o mínimos son $t = 1$ y $t = 4$. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos absolutos en un intervalo cerrado pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo ($t=0$ y $t=5$).

Analizamos el signo de la derivada $R'(t) = 3(t-1)(t-4)$ para determinar el crecimiento y decrecimiento en el intervalo $[0, 5]$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,1) & 1 & (1,4) & 4 & (4,5)\\\hline R'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En $t=1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $t=4$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Para asegurar el máximo rendimiento absoluto, evaluamos la función en el punto crítico $t=1$ y en los extremos del intervalo (que ya calculamos antes): - $R(0) = 13$ - $R(1) = 1^3 - 7,5(1)^2 + 12(1) + 13 = 1 - 7,5 + 12 + 13 = 18,5$ - $R(5) = 10,5$ El valor más alto se alcanza en $t=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Alcanza el máximo rendimiento a la 1ª hora (} t = 1 \text{).}}$$

**c) Cuando llega a su mínimo rendimiento, ¿en qué nivel de rendimiento está?** Según el estudio de la monotonía del paso anterior, el mínimo rendimiento relativo se alcanza en $t=4$. Evaluamos la función en ese punto: $$R(4) = 4^3 - 7,5(4)^2 + 12(4) + 13$$ $$R(4) = 64 - 7,5(16) + 48 + 13$$ $$R(4) = 64 - 120 + 48 + 13 = 5 \text{ unidades.}$$ Comparando con el valor al final de la carrera ($R(5) = 10,5$), el valor de $R(4)=5$ es el **mínimo absoluto** en el intervalo $[0, 5]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El nivel de rendimiento mínimo es de 5 unidades.}}$$