Optimización de costos en transporte de viajeros

**a) Plantear el problema que determina el número de autocares de cada tipo que se han de elegir para minimizar los costos globales.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de autocares de 60 plazas a contratar. - $y$: número de autocares de 40 plazas a contratar. El objetivo es minimizar el costo total. Según el enunciado, el costo de cada autocar de 60 plazas es de $320\text{€}$ y el de 40 plazas es de $230\text{€}$. Por tanto, la función objetivo $C(x, y)$ es: $$f(x, y) = 320x + 230y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, la función objetivo suele representar un beneficio (para maximizar) o un coste (para minimizar).

A continuación, establecemos las restricciones basadas en los datos del problema: 1. **Capacidad total:** El número total de plazas debe ser al menos 320. $$60x + 40y \ge 320$$ Podemos simplificar esta inecuación dividiendo por 20: $$3x + 2y \ge 16$$ 2. **Disponibilidad de autocares de 60 plazas:** Hay un máximo de 4 unidades. $$x \le 4$$ 3. **Disponibilidad de autocares de 40 plazas:** Hay un máximo de 5 unidades. $$y \le 5$$ 4. **No negatividad:** No se pueden contratar cantidades negativas de vehículos. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca las restricciones de no negatividad ($x \ge 0, y \ge 0$) ya que en contextos reales las variables suelen representar objetos físicos.

**b) Representar la región factible, determinar la solución óptima y hallar el costo global mínimo.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones: - $r_1: 3x + 2y = 16$. Puntos de corte: $(0, 8)$ y $(16/3, 0) \approx (5.33, 0)$. - $r_2: x = 4$ (Recta vertical). - $r_3: y = 5$ (Recta horizontal). - $x = 0$ e $y = 0$ (Ejes de coordenadas). La región factible es el polígono delimitado por estas rectas que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas limitantes: 1. **Vértice A:** Intersección de $x=4$ y $y=5$. $$A(4, 5)$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $3x + 2y = 16$ y $y=5$. $$3x + 2(5) = 16 \implies 3x + 10 = 16 \implies 3x = 6 \implies x = 2$$ $$B(2, 5)$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $3x + 2y = 16$ y $x=4$. $$3(4) + 2y = 16 \implies 12 + 2y = 16 \implies 2y = 4 \implies y = 2$$ $$C(4, 2)$$ 💡 **Tip:** Aunque trabajamos con un área sombreada, la solución óptima siempre se encontrará en uno de los vértices del recinto o en un segmento que los una.

Evaluamos la función de costo $f(x, y) = 320x + 230y$ en cada uno de los vértices: $$\begin{array}{c|c|l} \text{Vértice} & (x, y) & f(x, y) = 320x + 230y \\ \hline A & (4, 5) & 320(4) + 230(5) = 1280 + 1150 = 2430\text{ €} \\ B & (2, 5) & 320(2) + 230(5) = 640 + 1150 = 1790\text{ €} \\ C & (4, 2) & 320(4) + 230(2) = 1280 + 460 = 1740\text{ €} \end{array}$$ Comparando los resultados, el valor mínimo se obtiene en el punto $C(4, 2)$. ✅ **Resultado final:** Para minimizar los costos globales, se deben elegir **4 autocares de 60 plazas** y **2 autocares de 40 plazas**. El costo global mínimo será de **1740 euros**. $$\boxed{x=4, \, y=2, \, \text{Costo} = 1740\text{ €}}$$