Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) ¿Cuál es la media muestral?** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Intervalo de confianza: $I.C. = [1470,6; 1529,4]$ - Desviación típica de la población: $\sigma = 150$ En un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, el intervalo es simétrico respecto a la media muestral ($\bar{x}$). Por lo tanto, la media muestral es el punto medio del intervalo. $$\bar{x} = \frac{1470,6 + 1529,4}{2}$$ Calculamos la suma: $$1470,6 + 1529,4 = 3000$$ Dividimos entre 2: $$\bar{x} = \frac{3000}{2} = 1500$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un intervalo de confianza tiene la forma $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, donde $E$ es el error máximo admisible. Por eso, $\bar{x}$ siempre está justo en el centro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 1500\text{ kg}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** El error máximo admisible ($E$) es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{1529,4 - 1470,6}{2} = \frac{58,8}{2} = 29,4$$ Sabemos que la fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos para despejar $z_{\alpha/2}$ (el valor crítico): $$29,4 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{150}{\sqrt{100}}$$ $$29,4 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{150}{10}$$ $$29,4 = z_{\alpha/2} \cdot 15$$ Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} = \frac{29,4}{15} = 1,96$$

Ahora que tenemos $z_{\alpha/2} = 1,96$, buscamos la probabilidad asociada en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$: $$p(Z \le 1,96) = 0,9750$$ El nivel de confianza ($1-\alpha$) se relaciona con esta probabilidad mediante la fórmula: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} \implies 0,9750 = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ Calculamos el nivel de confianza total: $$1 - \alpha = 2 \cdot (0,9750 - 0,5) = 2 \cdot 0,475 = 0,95$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $95\%$. 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1,96$ es uno de los más comunes en estadística y siempre corresponde a un nivel de confianza del $95\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1-\alpha = 0,95 \text{ (o } 95\%\text{)}}$$

**c) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo con la misma información muestral pero con un nivel de confianza igual a 0,9?** Para un nuevo nivel de confianza $1-\alpha = 0,9$, debemos encontrar el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$1 - \alpha = 0,9 \implies \alpha = 0,1 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0,05 = 0,95$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$$ Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, observamos que el valor $0,95$ está exactamente entre $z=1,64$ ($0,9495$) y $z=1,65$ ($0,9505$). Por tanto, tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$

Calculamos el nuevo error máximo con $z_{\alpha/2} = 1,645$: $$E = 1,645 \cdot \frac{150}{\sqrt{100}} = 1,645 \cdot 15 = 24,675$$ El nuevo intervalo de confianza se construye sumando y restando este error a la media muestral obtenida en el apartado a) ($\bar{x} = 1500$): $$I.C. = [1500 - 24,675; 1500 + 24,675]$$ $$I.C. = [1475,325; 1524,675]$$ 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de confianza (de $0,95$ a $0,90$), el valor crítico es menor y, por tanto, el intervalo se vuelve más estrecho. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = [1475,325; 1524,675]}$$