Contraste de hipótesis para la media semanal

**a) Plantear un test de hipótesis que permita contrastar la suposición del comerciante.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el beneficio semanal en euros. Sabemos que $X$ sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 500$. El comerciante sospecha que la media ha disminuido respecto al valor histórico de $5.300$ euros. Por tanto, planteamos un **contraste de hipótesis unilateral a la izquierda**: - **Hipótesis nula ($H_0$):** La media se mantiene igual. $$H_0: \mu = 5300$$ - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** La media ha disminuido (suposición del comerciante). $$H_1: \mu \lt 5300$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=$), mientras que la alternativa contiene la sospecha o el cambio que queremos demostrar ($\lt, \gt$ o $ eq$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{H_0: \mu = 5300; \quad H_1: \mu \lt 5300}$$

Para tomar una decisión, debemos calcular cuánto se aleja la media de nuestra muestra de la media poblacional supuesta en la hipótesis nula. Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Media muestral: $\bar{x} = 5000$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 500$ La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$. Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ (tipificación): $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{5000 - 5300}{500 / \sqrt{20}} = \frac{-300}{500 / 4,472} = \frac{-300}{111,803} \approx -2,683$$ 💡 **Tip:** El valor $Z$ nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica. Un valor muy negativo indica que es poco probable que la media siga siendo $5300$.

**b) ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 2%?** El nivel de significación es $\alpha = 0,02$. Al ser un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $p(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,02$. Esto equivale a buscar $z_{\alpha}$ tal que $p(Z \gt z_{\alpha}) = 0,02$, o lo que es lo mismo: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,02 = 0,98$$ Mirando en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: - Para $0,9798$ el valor es $2,05$ - Para $0,9803$ el valor es $2,06$ Podemos usar el valor intermedio aproximado: $z_{0,02} \approx 2,055$. Por lo tanto, el valor crítico es **$-2,055$**. **Regla de decisión:** Si $Z_{exp} \lt -2,055$, rechazamos $H_0$. Como $-2,683 \lt -2,055$, el estadístico cae en la **zona de rechazo**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ Existen evidencias suficientes para afirmar que el beneficio medio ha disminuido.}}$$

**c) ¿Cuál es la conclusión con un nivel de significación igual a 0,003?** Ahora el nivel de significación es mucho más exigente: $\alpha = 0,003$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $p(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,003$. Esto equivale a: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,003 = 0,997$$ Buscamos el valor $0,997$ en la tabla de la normal estándar: Encontramos exactamente que para $z = 2,75$, la probabilidad es $0,9970$. Por lo tanto, el nuevo valor crítico es **$-2,75$**. **Regla de decisión:** Si $Z_{exp} \lt -2,75$, rechazamos $H_0$. En este caso, $-2,683$ **no es menor** que $-2,75$ (está a la derecha). $$Z_{exp} = -2,683 \gt -2,75$$ El estadístico cae en la **zona de aceptación** (o no rechazo). ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar } H_0. \text{ Con este nivel de exigencia, no hay pruebas suficientes de que el beneficio haya bajado.}}$$