Estudio de la inversión mediante una función cuadrática

**a) ¿Cuándo ha crecido y ha decrecido $c(t)$? ¿En qué momento ha sido máximo el capital invertido? ¿Cuál es el capital máximo invertido?** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $c(t) = t^2 - 7t + 14$: $$c'(t) = 2t - 7$$ Buscamos los puntos críticos donde la derivada se anula ($c'(t) = 0$): $$2t - 7 = 0 \implies 2t = 7 \implies t = \frac{7}{2} = 3.5$$ Como el dominio está restringido a $t \in [0,8]$, estudiamos el signo de la derivada en los intervalos $(0, 3.5)$ y $(3.5, 8)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $c'(t) \gt 0$ la función crece y si $c'(t) \lt 0$ la función decrece.

Analizamos el signo de $c'(t) = 2t - 7$ en la recta real dentro del dominio $[0, 8]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 3.5) & 3.5 & (3.5, 8)\\ \hline c'(t) & - & 0 & +\\ \hline c(t) & \searrow & \text{mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 3.5)$, tomamos $t=1$: $c'(1) = 2(1)-7 = -5 \lt 0$ (**decreciente**). - En el intervalo $(3.5, 8)$, tomamos $t=4$: $c'(4) = 2(4)-7 = 1 \gt 0$ (**creciente**). ✅ **Resultado (Crecimiento):** $$\boxed{\text{Decrece en } [0, 3.5) \text{ y crece en } (3.5, 8]}$$

Al ser una función continua en un intervalo cerrado $[0, 8]$, los extremos absolutos pueden estar en los puntos críticos o en los extremos del intervalo. Evaluamos $c(t)$ en $t=0$ y $t=8$ (ya sabemos que en $t=3.5$ hay un mínimo): - Para $t = 0$: $c(0) = 0^2 - 7(0) + 14 = 14$ millones. - Para $t = 8$: $c(8) = 8^2 - 7(8) + 14 = 64 - 56 + 14 = 22$ millones. Comparando los valores, el valor máximo es 22 millones, que ocurre a los 8 años. ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{Máximo a los 8 años con un capital de 22 millones de euros}}$$

**b) ¿Cuándo $c(t)$ alcanza un mínimo? ¿Cuál es el capital mínimo invertido?** Según el estudio de la derivada realizado en el apartado anterior, existe un mínimo relativo en $t = 3.5$. Al ser la función una parábola con las ramas hacia arriba, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto en el intervalo dado. Calculamos el valor del capital en $t = 3.5$: $$c(3.5) = (3.5)^2 - 7(3.5) + 14$$ $$c(3.5) = 12.25 - 24.5 + 14 = 1.75$$ 💡 **Tip:** El vértice de una parábola $y=ax^2+bx+c$ se encuentra en $x = -b/2a$. En este caso, $t = -(-7)/(2\cdot 1) = 3.5$. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{Mínimo a los 3.5 años con un capital de 1.75 millones de euros}}$$

**c) ¿Cuándo el capital invertido fue igual a 4 millones?** Debemos resolver la ecuación $c(t) = 4$ dentro del intervalo $t \in [0, 8]$: $$t^2 - 7t + 14 = 4$$ $$t^2 - 7t + 10 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ años. 2. $t_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ años. Ambos valores pertenecen al intervalo $[0, 8]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El capital fue de 4 millones a los 2 años y a los 5 años}}$$