Problema de repartición de alumnos en actividades extraescolares

Para resolver este problema, primero identificamos las tres incógnitas que nos pide el enunciado: $x$: número de alumnos que hacen **deportes**. $y$: número de alumnos que hacen **teatro**. $z$: número de alumnos que **no hacen ninguna actividad**. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de alumnos es 240: $$x + y + z = 240$$ 2. Los que hacen deportes ($x$) son el doble de los que hacen teatro ($y$) y los que no hacen actividad ($z$) juntos: $$x = 2(y + z)$$ 3. Los que hacen teatro ($y$) son la tercera parte de los que no hacen actividad ($z$): $$y = \dfrac{z}{3}$$ 💡 **Tip:** En problemas de texto, lee cada frase cuidadosamente para identificar la relación de igualdad. Palabras como "el doble" implican multiplicar por 2 y "la tercera parte" implican dividir por 3. El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 240 \\ x = 2y + 2z \\ 3y = z \end{cases}$$

Dado que tenemos variables ya despejadas o fáciles de despejar, utilizaremos el **método de sustitución**. De la tercera ecuación, ya sabemos que: $$z = 3y$$ Ahora, sustituimos este valor de $z$ en la segunda ecuación para expresar $x$ solo en función de $y$: $$x = 2(y + 3y)$$ $$x = 2(4y)$$ $$x = 8y$$ Ahora que tenemos $x$ y $z$ expresados en función de $y$, sustituimos ambos en la primera ecuación (la del total de alumnos): $$(8y) + y + (3y) = 240$$ Sumamos los términos semejantes: $$12y = 240$$ Despejamos $y$: $$y = \dfrac{240}{12}$$ $$\boxed{y = 20}$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las ecuaciones relaciona directamente dos variables de forma sencilla.

Una vez hallado el valor de $y = 20$, calculamos el resto de las variables sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: Para $z$ (no hacen actividades): $$z = 3y = 3 \cdot 20$$ $$\boxed{z = 60}$$ Para $x$ (deportes): $$x = 8y = 8 \cdot 20$$ $$\boxed{x = 160}$$ **Comprobación:** - Suma total: $160 + 20 + 60 = 240$ (Correcto). - Deportes es el doble de los otros dos: $160 = 2(20 + 60) = 2(80) = 160$ (Correcto). - Teatro es un tercio de los que no hacen nada: $20 = 60/3$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 160 alumnos en deportes, 20 en teatro y 60 no hacen ninguna actividad.}}$$