Distribución normal de los pesos de tomates

**a) Elegido un tomate al azar, corresponda a la clase A.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de un tomate en gramos. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 100$ y desviación típica $\sigma = 10$: $$X \sim N(100, 10)$$ Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos **tipificar** la variable para poder utilizar las tablas de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la transformación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ La Clase A está formada por los tomates con pesos comprendidos entre $80$ y $120$ g. Por tanto, buscamos calcular la probabilidad $P(80 \le X \le 120)$. 💡 **Tip:** La tipificación permite convertir cualquier valor de una normal $N(\mu, \sigma)$ en un valor de una normal estándar $N(0, 1)$ para el que conocemos las probabilidades acumuladas.

Tipificamos los límites del intervalo: - Para $x = 80$: $z_1 = \dfrac{80 - 100}{10} = -2$ - Para $x = 120$: $z_2 = \dfrac{120 - 100}{10} = 2$ Sustituimos en la probabilidad: $$P(80 \le X \le 120) = P(-2 \le Z \le 2)$$ Aplicando las propiedades de la distribución normal (simetría): $$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2) = P(Z \le 2) - [1 - P(Z \le 2)]$$ $$P(-2 \le Z \le 2) = 2 \cdot P(Z \le 2) - 1$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor para $Z = 2,00$: $$P(Z \le 2) = 0,9772$$ Finalmente: $$P(80 \le X \le 120) = 2 \cdot 0,9772 - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Clase A}) = 0,9544}$$

**b) Elegidos una docena de tomates al azar, su peso medio sea superior a 105 g.** En este apartado no trabajamos con un solo tomate, sino con una muestra de $n = 12$ tomates (una docena). Sea $\bar{X}$ la variable que representa el peso medio de esa docena. Sabemos que si la población original es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales de tamaño $n$ también es normal con la misma media y desviación típica $\sigma / \sqrt{n}$: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Para nuestro caso: - $\mu = 100$ - $\sigma = 10$ - $n = 12$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{10}{\sqrt{12}} \approx \frac{10}{3,4641} \approx 2,8868$$ La distribución para la media es: $$\bar{X} \sim N(100; 2,8868)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral siempre tiene menos variabilidad (una campana más estrecha) que la población individual.

Queremos hallar $P(\bar{X} \gt 105)$. Tipificamos la variable $\bar{X}$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{105 - 100}{2,8868} = \frac{5}{2,8868} \approx 1,732$$ Redondeando a dos decimales para usar las tablas habituales, tomamos $Z = 1,73$: $$P(\bar{X} \gt 105) = P(Z \gt 1,73)$$ Como la tabla de la normal nos da áreas a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos el suceso complementario: $$P(Z \gt 1,73) = 1 - P(Z \le 1,73)$$ Buscamos el valor en la tabla para $1,7$ en la columna y $0,03$ en la fila: $$P(Z \le 1,73) = 0,9582$$ Sustituimos para obtener la probabilidad final: $$P(\bar{X} \gt 105) = 1 - 0,9582 = 0,0418$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 105) = 0,0418}$$