Inferencia estadística: Proporción y contraste de hipótesis

**a) Con una confianza del 98%, construir un intervalo de confianza para la proporción de adultos que duermen, al menos, 8 horas cada día.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 225$. - Adultos que duermen menos de 8 horas: $135$. - Adultos que duermen, **al menos**, 8 horas (complementario): $225 - 135 = 90$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ de adultos que duermen al menos 8 horas: $$\hat{p} = \frac{90}{225} = 0,4$$ Por tanto, la proporción complementaria es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,4 = 0,6$$ 💡 **Tip:** Lee bien qué proporción te piden. El enunciado da el dato de los que duermen *menos* de 8 horas, pero el apartado (a) pregunta por los que duermen *al menos* 8 horas.

Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,01$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0,01 = 0,99$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,99$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 2,33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor de la horizontal que deja un área de $\alpha/2$ en la cola derecha.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{225}} = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,24}{225}} = 2,33 \cdot \sqrt{0,001066...} \approx 2,33 \cdot 0,03266 = 0,0761$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,4 - 0,0761 = 0,3239$ - Límite superior: $0,4 + 0,0761 = 0,4761$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,3239; \, 0,4761)}$$

**b) Con una significación del 0,5%, si se obtuviese el mismo porcentaje muestral para una muestra de 350 adultos, ¿se puede rechazar la hipótesis de que como mínimo el 65% de los adultos duermen menos de 8 horas cada día?** Definimos las hipótesis basándonos en los adultos que duermen **menos** de 8 horas: - Proporción muestral ($n=350$): El enunciado dice que es el mismo porcentaje, por lo que usamos los que duermen menos de 8 horas del inicio: $\hat{p} = \frac{135}{225} = 0,6$. - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0,65$ (como mínimo el 65%). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0,65$ (menos del 65%). Se trata de un **contraste unilateral izquierdo**. Datos: - $p_0 = 0,65$ - $q_0 = 0,35$ - $n = 350$ - $\alpha = 0,005$ (significación del $0,5\%$) 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ siempre contiene el signo igual (o $\ge, \le$).

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}} = \frac{0,6 - 0,65}{\sqrt{\frac{0,65 \cdot 0,35}{350}}}$$ Operamos: $$Z = \frac{-0,05}{\sqrt{\frac{0,2275}{350}}} = \frac{-0,05}{\sqrt{0,00065}} = \frac{-0,05}{0,025495} \approx -1,961$$ 💡 **Tip:** Este valor nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro valor muestral de la media supuesta.

Para una significación $\alpha = 0,005$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,005$$ En las tablas, buscamos $0,995$ ($1 - 0,005$): $$z_{0,005} \approx 2,575$$ Por tanto, la región crítica es $Z \lt -2,575$. Comparamos nuestro estadístico $Z = -1,961$ con el valor crítico: Como $-1,961 \gt -2,575$, el estadístico **no cae en la región de rechazo**. **Conclusión:** No hay evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, no se puede rechazar que, como mínimo, el 65% de los adultos duermen menos de 8 horas con un nivel de significación del 0,5%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar la hipótesis } H_0}$$