Estudio de concentración de gases contaminantes

**a) ¿Cuál fue la concentración el 1 de enero de 2016 a las 0:00 horas?** Primero debemos determinar el valor de $t$ que corresponde a la fecha solicitada. Sabemos que: - $t = 0$ corresponde al 1 de enero de 2010. - Por tanto, para el 1 de enero de 2016 han transcurrido: $$t = 2016 - 2010 = 6 \text{ años}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de problemas de funciones temporales, es fundamental definir correctamente el instante inicial $t=0$ para no cometer errores de desfase.

Sustituimos el valor $t = 6$ en la función dada $f(t) = -0,2 t^2 + 5t + 10$: $$f(6) = -0,2 \cdot (6)^2 + 5 \cdot (6) + 10$$ $$f(6) = -0,2 \cdot 36 + 30 + 10$$ $$f(6) = -7,2 + 40 = 32,8$$ La concentración el 1 de enero de 2016 era de $32,8 \text{ mg/m}^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{32,8 \text{ mg/m}^3}$$

**b) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? ¿En qué estación del año tendrá lugar? ¿Cuál será el valor de dicha concentración?** Para hallar el máximo de la función $f(t) = -0,2 t^2 + 5t + 10$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$f'(t) = -0,4t + 5$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-0,4t + 5 = 0 \implies 0,4t = 5 \implies t = \frac{5}{0,4} = 12,5$$ 💡 **Tip:** Como la función es una parábola con coeficiente principal negativo ($a = -0,2 \lt 0$), el vértice siempre representará un máximo absoluto.

Comprobamos que en $t = 12,5$ existe un máximo analizando el signo de $f'(t)$ a ambos lados: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 12,5) & 12,5 & (12,5, +\infty) \\\hline f'(t) & + & 0 & - \\\hline f(t) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Además, la segunda derivada es $f''(t) = -0,4$, que al ser negativa ($f''(12,5) \lt 0$) confirma la existencia de un **máximo relativo**.

El valor $t = 12,5$ indica que han pasado 12 años completos y medio año más. 1. **Año:** $2010 + 12 = 2022$. 2. **Momento del año:** $0,5$ años equivale a 6 meses exactos desde el 1 de enero. Esto nos sitúa en el **1 de julio de 2022**. 3. **Estación:** El 1 de julio corresponde a la estación de **verano**. ✅ **Resultado (Momento):** $$\boxed{\text{Año 2022, en Verano}}$$

Para obtener la concentración máxima, evaluamos la función en el punto crítico $t = 12,5$: $$f(12,5) = -0,2 \cdot (12,5)^2 + 5 \cdot (12,5) + 10$$ $$f(12,5) = -0,2 \cdot 156,25 + 62,5 + 10$$ $$f(12,5) = -31,25 + 72,5 = 41,25$$ La concentración máxima será de $41,25 \text{ mg/m}^3$. ✅ **Resultado (Concentración):** $$\boxed{41,25 \text{ mg/m}^3}$$