Optimización de la recaudación en un mercadillo

**a) Determinar la función objetivo y expresar mediante inecuaciones las restricciones del problema.** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada tipo de pack que se van a vender: - $x$: número de packs de tipo A. - $y$: número de packs de tipo B. La **función objetivo** representa aquello que queremos maximizar, en este caso, la recaudación total. Sabiendo que el pack A se vende a 7 € y el pack B a 8,5 €: $$f(x, y) = 7x + 8,5y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben ser números no negativos, ya que no se pueden vender cantidades negativas de productos. Por tanto, añadimos $x \ge 0$ e $y \ge 0$. $$\boxed{f(x, y) = 7x + 8,5y}$$

Para establecer las restricciones, organizamos la información sobre los recursos disponibles (libros y ropa) en una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Pack A } (x) & \text{Pack B } (y) & \text{Máximo disponible} \\ \hline \text{Libros} & 3 & 2 & 342 \\ \hline \text{Ropa} & 1 & 2 & 218 \\ \hline \end{array}$$ A partir de la tabla, escribimos las inecuaciones: 1. Restricción de libros: $3x + 2y \le 342$ 2. Restricción de ropa: $x + 2y \le 218$ 3. Condición de no negatividad: $x \ge 0, \, y \ge 0$ 💡 **Tip:** La expresión "a lo sumo" significa que la cantidad debe ser menor o igual ($\le$) al límite indicado. ✅ **Resultado (Restricciones):** $$\boxed{\begin{cases} 3x + 2y \le 342 \\ x + 2y \le 218 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de pack deben vender los alumnos para que la recaudación obtenida sea máxima? Calcula dicha recaudación.** Para resolver el problema, primero hallamos los puntos de corte de las rectas que limitan la región factible: - **Punto A (Corte con el eje $y$):** Si $x = 0$ en $x + 2y = 218 \implies 2y = 218 \implies y = 109$. El punto es $(0, 109)$. - **Punto B (Corte con el eje $x$):** Si $y = 0$ en $3x + 2y = 342 \implies 3x = 342 \implies x = 114$. El punto es $(114, 0)$. - **Punto C (Intersección de las dos rectas):** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y = 342 \\ x + 2y = 218 \end{cases}$$ Restando la segunda ecuación a la primera: $$(3x - x) + (2y - 2y) = 342 - 218 \implies 2x = 124 \implies x = 62$$ Sustituyendo $x = 62$ en la segunda ecuación: $$62 + 2y = 218 \implies 2y = 156 \implies y = 78$$ El punto de intersección es $(62, 78)$. Los vértices de la región factible son $O(0, 0)$, $A(0, 109)$, $B(114, 0)$ y $C(62, 78)$.

A continuación, se muestra la región factible delimitada por las restricciones anteriores. El área sombreada contiene todas las posibles soluciones que cumplen las condiciones del problema.

Evaluamos la función de recaudación $f(x, y) = 7x + 8,5y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $O(0, 0): f(0, 0) = 7(0) + 8,5(0) = 0 \text{ €}$ - En $A(0, 109): f(0, 109) = 7(0) + 8,5(109) = 926,5 \text{ €}$ - En $B(114, 0): f(114, 0) = 7(114) + 8,5(0) = 798 \text{ €}$ - En $C(62, 78): f(62, 78) = 7(62) + 8,5(78) = 434 + 663 = 1097 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(62, 78)$. 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Deben vender 62 packs tipo A y 78 packs tipo B. la recaudación máxima es de 1097 €}}$$