Operaciones con matrices y resolución de ecuación matricial

**a) (1 punto) Calcule $A + B$.** Para sumar dos matrices, sumamos los elementos que ocupan la misma posición: $$A + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 1 \\ 2 + (-1) & 0 + 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones aritméticas simples: $$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar matrices deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y columnas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule $X$ en la ecuación matricial $(A + B) \cdot X = A - B$.** Llamemos $C = A + B$ y $D = A - B$. La ecuación queda como: $$C \cdot X = D$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $C$ ($C^{-1}$), siempre que dicha inversa exista: $$C^{-1} \cdot (C \cdot X) = C^{-1} \cdot D$$ $$(C^{-1} \cdot C) \cdot X = C^{-1} \cdot D$$ $$I \cdot X = C^{-1} \cdot D$$ $$X = C^{-1} \cdot D$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Como $(A+B)$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda al otro miembro de la ecuación.

Calculamos la matriz $D = A - B$ restando los elementos correspondientes: $$D = A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 & -1 - 1 \\ 2 - (-1) & 0 - 3 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Calculamos la inversa de $C = A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. 1. **Determinante de C:** $$|C| = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (0 \cdot 1) = 9 - 0 = 9$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz es invertible. 2. **Matriz de adjuntos $Adj(C)$:** Calculamos los adjuntos de cada elemento: - $C_{11} = +|3| = 3$ - $C_{12} = -|1| = -1$ - $C_{21} = -|0| = 0$ - $C_{22} = +|3| = 3$ $$Adj(C) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. **Traspuesta de la matriz de adjuntos:** $$Adj(C)^t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 4. **Inversa de C:** $$C^{-1} = \frac{1}{|C|} \cdot Adj(C)^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \cdot Adj(C)^t$.

Ahora multiplicamos $C^{-1}$ por $D$: $$X = C^{-1} \cdot D = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: $$X = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} (3 \cdot -1) + (0 \cdot 3) & (3 \cdot -2) + (0 \cdot -3) \\ (-1 \cdot -1) + (3 \cdot 3) & (-1 \cdot -2) + (3 \cdot -3) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -3 + 0 & -6 + 0 \\ 1 + 9 & 2 - 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -3 & -6 \\ 10 & -7 \end{pmatrix}$$ Introducimos el escalar dentro de la matriz: $$X = \begin{pmatrix} -3/9 & -6/9 \\ 10/9 & -7/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 \\ 10/9 & -7/9 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{10}{9} & -\dfrac{7}{9} \end{pmatrix}}$$