Análisis de beneficios y optimización

**a) (0.8 puntos) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13500 €?** Para calcular el beneficio obtenido al vender 100 unidades, simplemente debemos evaluar la función $B(x)$ en el punto $x = 100$: $$B(100) = -(100)^2 + 360(100) - 18000$$ $$B(100) = -10000 + 36000 - 18000$$ $$B(100) = 8000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al elevar al cuadrado un número negativo como en $-x^2$, el signo menos está fuera de la potencia: $-(100^2) = -10000$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{8000\text{ €}}$$

Para hallar el número de unidades $x$ que generan un beneficio de 13500 €, igualamos la función a ese valor y resolvemos la ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 360x - 18000 = 13500$$ Pasamos todos los términos a un lado para igualar a cero: $$-x^2 + 360x - 31500 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 360x + 31500 = 0$. Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{360 \pm \sqrt{(-360)^2 - 4(1)(31500)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{360 \pm \sqrt{129600 - 126000}}{2} = \frac{360 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{360 \pm 60}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{360 + 60}{2} = \frac{420}{2} = 210$ - $x_2 = \frac{360 - 60}{2} = \frac{300}{2} = 150$ Ambas soluciones pertenecen al dominio de la función ($50 \le x \le 350$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe vender } 150 \text{ o } 210 \text{ unidades}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio?** Para encontrar el máximo de una función, buscamos los puntos donde su derivada es igual a cero ($B'(x) = 0$). Calculamos la derivada de $B(x) = -x^2 + 360x - 18000$: $$B'(x) = -2x + 360$$ Igualamos a cero: $$-2x + 360 = 0 \implies 2x = 360 \implies x = 180$$ Comprobamos que es un máximo mediante la segunda derivada: $$B''(x) = -2$$ Como $B''(180) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $x = 180$ hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** En una parábola de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, si $a \lt 0$, el vértice siempre representa el valor máximo. ✅ **Resultado (unidades):** $$\boxed{180 \text{ unidades}}$$

Sustituimos el valor $x = 180$ en la función original para hallar el beneficio máximo: $$B(180) = -(180)^2 + 360(180) - 18000$$ $$B(180) = -32400 + 64800 - 18000$$ $$B(180) = 14400$$ Estudiamos la monotonía para completar el análisis: $$\begin{array}{c|ccc} x & (50, 180) & 180 & (180, 350) \\\hline B'(x) & + & 0 & - \\\hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (beneficio):** $$\boxed{14400\text{ €}}$$

**c) (0.7 puntos) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.** No obtener pérdidas significa que el beneficio debe ser mayor o igual a cero ($B(x) \ge 0$). Primero buscamos los puntos de corte con el eje $X$ (donde el beneficio es cero): $$-x^2 + 360x - 18000 = 0$$ $$x = \frac{-360 \pm \sqrt{360^2 - 4(-1)(-18000)}}{2(-1)} = \frac{-360 \pm \sqrt{129600 - 72000}}{-2}$$ $$x = \frac{-360 \pm \sqrt{57600}}{-2} = \frac{-360 \pm 240}{-2}$$ Dos soluciones: - $x_1 = \frac{-360 + 240}{-2} = \frac{-120}{-2} = 60$ - $x_2 = \frac{-360 - 240}{-2} = \frac{-600}{-2} = 300$ Como la función es una parábola cóncava (hacia abajo), el beneficio es positivo entre las dos raíces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay que vender entre } 60 \text{ y } 300 \text{ unidades inclusive (} 60 \le x \le 300 \text{)}} $$

Para la representación gráfica, utilizamos los puntos clave calculados: - Dominio: $[50, 350]$ - Puntos de corte con el eje $X$: $(60, 0)$ y $(300, 0)$ - Vértice (Máximo): $(180, 14400)$ - Extremos del intervalo: - $B(50) = -(50)^2 + 360(50) - 18000 = -2500 + 18000 - 18000 = -2500$ - $B(350) = -(350)^2 + 360(350) - 18000 = -122500 + 126000 - 18000 = -14500$