Probabilidad: Sucesos independientes e incompatibles

Antes de resolver los apartados, debemos organizar la información y extraer todas las probabilidades posibles. Datos conocidos: - $P(A) = 0.40$ - $P(A \cap B) = 0.10$ - $P(C) = 0.20$ - $A$ y $B$ son **independientes**. - $A$ y $C$ son **incompatibles**. Como $A$ y $B$ son independientes, sabemos que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores para hallar $P(B)$: $$0.10 = 0.40 \cdot P(B) \implies P(B) = \frac{0.10}{0.40} = 0.25$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro. Matemáticamente: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Con estos datos, podemos construir una **tabla de contingencia** para los sucesos $A$ y $B$: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.10 & 0.30 & 0.40 \\ \bar{A} & 0.15 & 0.45 & 0.60 \\ \hline \text{Total} & 0.25 & 0.75 & 1.00 \end{array}$$ También, al ser $A$ y $C$ **incompatibles**, sabemos que no pueden ocurrir a la vez: $$P(A \cap C) = 0$$

**a) (1.25 puntos) Que suceda $A$ si no sucede $B$.** Nos piden la probabilidad condicionada $P(A | \bar{B})$. Por definición: $$P(A | \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75$. 2. $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.40 - 0.10 = 0.30$. Sustituimos en la fórmula: $$P(A | \bar{B}) = \frac{0.30}{0.75} = 0.40$$ 💡 **Tip:** Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $\bar{B}$ también lo son. Por tanto, $P(A | \bar{B}) = P(A)$ directamente sin necesidad de cálculos adicionales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{B}) = 0.40}$$

**b) (0.75 puntos) Que no suceda ni $A$ ni $C$.** Este suceso se representa como $\bar{A} \cap \bar{C}$. Para calcularlo, utilizaremos las **Leyes de De Morgan**: $$\bar{A} \cap \bar{C} = \overline{A \cup C}$$ Por tanto: $$P(\bar{A} \cap \bar{C}) = 1 - P(A \cup C)$$ Calculamos $P(A \cup C)$ sabiendo que $A$ y $C$ son **incompatibles** ($P(A \cap C) = 0$): $$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = 0.40 + 0.20 = 0.60$$ Finalmente: $$P(\bar{A} \cap \bar{C}) = 1 - 0.60 = 0.40$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son incompatibles, su unión es simplemente la suma de sus probabilidades individuales porque su intersección es vacía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{C}) = 0.40}$$

**c) (0.5 puntos) Que si no sucede $B$ tampoco suceda $A$.** Nos piden la probabilidad condicionada $P(\bar{A} | \bar{B})$. Aplicamos la definición: $$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Calculamos $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ usando los datos de nuestra tabla de contingencia o mediante la unión: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.40 + 0.25 - 0.10 = 0.55$ $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.55 = 0.45$ Sustituimos: $$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{0.45}{0.75} = 0.60$$ 💡 **Tip:** Al igual que en el apartado (a), como $A$ y $B$ son independientes, $\bar{A}$ y $\bar{B}$ también lo son. Por ello, $P(\bar{A} | \bar{B}) = P(\bar{A}) = 1 - 0.40 = 0.60$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} | \bar{B}) = 0.60}$$