Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que lleva gafas, con un nivel de confianza del 97 %.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Alumnos con gafas: $x = 210$ Calculamos la proporción muestral de alumnos con gafas ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{210}{300} = 0.7$$ Por tanto, la proporción de alumnos que no llevan gafas en la muestra es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, trabajamos con la distribución muestral de proporciones, que se aproxima a una normal $N\left(\hat{p}, \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.97$, por lo que: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.9850$, el valor de $z$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal.

El error máximo admitido $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0007}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.0264575 = 0.05741$$ El intervalo de confianza viene dado por $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.7 - 0.0574, 0.7 + 0.0574) = (0.6426, 0.7574)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.6426, 0.7574)}$$

**b) (1 punto) Si por estudios en otros institutos se sabe que la proporción de alumnos que lleva gafas es del 70 %, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con una confianza del 97 %, el error máximo que se cometa sea inferior a 0.06.** En este apartado, conocemos: - Proporción poblacional supuesta: $p = 0.7$ (por tanto, $q = 0.3$). - Nivel de confianza: $97\%$, lo que implica el mismo valor crítico anterior: $z_{\alpha/2} = 2.17$. - Error máximo permitido: $E \lt 0.06$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Queremos que $E \lt 0.06$, por lo que planteamos la inecuación: $$2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{n}} \lt 0.06$$

Despejamos $n$ en la inecuación anterior: 1. Pasamos el valor crítico dividiendo: $$\sqrt{\frac{0.21}{n}} \lt \frac{0.06}{2.17}$$ 2. Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$\frac{0.21}{n} \lt \left(\frac{0.06}{2.17}\right)^2$$ $$\frac{0.21}{n} \lt 0.0007645$$ 3. Despejamos $n$ (al pasar $n$ multiplicando y el número dividiendo, el sentido de la desigualdad cambia si fuera negativo, pero como $n$ es positivo, simplemente reordenamos): $$n \gt \frac{0.21}{\left(\frac{0.06}{2.17}\right)^2} = \frac{0.21 \cdot 2.17^2}{0.06^2}$$ $$n \gt \frac{0.21 \cdot 4.7089}{0.0036} = \frac{0.988869}{0.0036} \approx 274.686$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe ser mayor que $274.686$, el primer valor válido es $275$. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 275 \text{ alumnos}}$$