Programación Lineal: Recinto y Optimización

**a) (1.2 puntos) Represente el recinto dado por las siguientes inecuaciones: $y \le x + 4$, $x + y \ge 4$, $x + y \le 30$, $y \ge 10$** Para representar el recinto (región factible), primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Estas rectas serán las fronteras de nuestra región: 1. **$r_1: y = x + 4$**. Pasa por los puntos $(0, 4)$ y $(6, 10)$. 2. **$r_2: x + y = 4$**. Pasa por los puntos $(0, 4)$ y $(4, 0)$. 3. **$r_3: x + y = 30$**. Pasa por los puntos $(0, 30)$ y $(30, 0)$. 4. **$r_4: y = 10$**. Es una recta horizontal que pasa por todos los puntos con ordenada $10$. 💡 **Tip:** Para representar una recta, basta con dar dos valores a $x$ y obtener sus correspondientes $y$. Por ejemplo, en $x+y=30$, si $x=0, y=30$; si $y=0, x=30$.

El recinto está limitado por las intersecciones de estas rectas que cumplen todas las inecuaciones. Vamos a calcular los puntos de corte (vértices): * **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($y = x + 4$) y $r_4$ ($y = 10$). $10 = x + 4 \implies x = 6$. Punto $\mathbf{A(6, 10)}$. * **Vértice B:** Intersección de $r_3$ ($x + y = 30$) y $r_4$ ($y = 10$). $x + 10 = 30 \implies x = 20$. Punto $\mathbf{B(20, 10)}$. * **Vértice C:** Intersección de $r_1$ ($y = x + 4$) y $r_3$ ($x + y = 30$). Sustituyendo $y$: $x + (x + 4) = 30 \implies 2x = 26 \implies x = 13$. $y = 13 + 4 = 17$. Punto $\mathbf{C(13, 17)}$. Notamos que la restricción $x + y \ge 4$ es redundante, ya que con $y \ge 10$ y las demás condiciones, la suma $x+y$ siempre será mayor que 4 en nuestra región. $$\boxed{Vértices: A(6, 10), B(20, 10), C(13, 17)}$$ (Ver gráfico interactivo en el siguiente paso).

A continuación, se muestra el recinto sombreado que cumple todas las condiciones del sistema de inecuaciones:

**b) (0.5 puntos) Razone si el punto (5, 3) pertenece al recinto anterior.** Para que un punto pertenezca al recinto, debe cumplir **todas** las inecuaciones del sistema simultáneamente. Comprobamos el punto $P(5, 3)$: 1. $y \le x + 4 \implies 3 \le 5 + 4 \implies 3 \le 9$ (Verdadero). 2. $x + y \ge 4 \implies 5 + 3 \ge 4 \implies 8 \ge 4$ (Verdadero). 3. $x + y \le 30 \implies 5 + 3 \le 30 \implies 8 \le 30$ (Verdadero). 4. $y \ge 10 \implies 3 \ge 10$ (**Falso**). Como no cumple la cuarta inecuación ($y \ge 10$), el punto no está en el recinto. 💡 **Tip:** En los ejercicios de regiones, basta con que falle una sola condición para que el punto quede fuera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (5, 3) no pertenece al recinto}}$$

**c) (0.8 puntos) Obtenga los valores mínimo y máximo de la función $F(x, y) = x - y$ en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x - y$ en los vértices del recinto calculado en el apartado a): * En $A(6, 10)$: $F(6, 10) = 6 - 10 = -4$. * En $B(20, 10)$: $F(20, 10) = 20 - 10 = 10$. * En $C(13, 17)$: $F(13, 17) = 13 - 17 = -4$. Observamos que el valor máximo es **10** y el valor mínimo es **-4**. El valor mínimo se alcanza en dos vértices ($A$ y $C$). En programación lineal, si el óptimo se alcanza en dos vértices contiguos, también se alcanza en todos los puntos del segmento que los une. Esto ocurre porque la pendiente de la función objetivo coincide con la de la restricción $y = x + 4$ (reescrita como $x - y = -4$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Máximo: } 10 \text{ en el punto } (20, 10) \\ & \text{Mínimo: } -4 \text{ en todos los puntos del segmento } AC \end{aligned}}$$