Derivabilidad de una función a trozos y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Calcule el valor de $a$ y $b$, para que la función sea derivable en $x = 0$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Por tanto, empezamos exigiendo la continuidad en $x = 0$. Una función es continua en $x=c$ si se cumple que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. 1. **Valor de la función:** $$f(0) = 0^2 - b(0) - 1 = -1$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{a}{x-1} = \frac{a}{0-1} = -a$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - bx - 1) = -1$$ Para que sea continua: $-a = -1 \implies \mathbf{a = 1}$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre comprueba la continuidad primero.

Una vez impuesta la condición de continuidad ($a=1$), estudiamos la derivabilidad igualando las derivadas laterales en $x=0$. Primero, calculamos la función derivada para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = \left( \frac{a}{x-1} \right)' = \frac{0 \cdot (x-1) - a \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-a}{(x-1)^2}$ - Para $x \gt 0$: $f'(x) = (x^2 - bx - 1)' = 2x - b$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{-a}{(x-1)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ 2x - b & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Ahora calculamos las **derivadas laterales** en $x = 0$: 1. **Derivada por la izquierda:** $f'(0^-) = \frac{-a}{(0-1)^2} = -a$ 2. **Derivada por la derecha:** $f'(0^+) = 2(0) - b = -b$ Para que sea derivable, $f'(0^-) = f'(0^+)$, es decir: $-a = -b \implies a = b$. Como del paso anterior obtuvimos que $a = 1$, entonces para que sea derivable también debe ser $b = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$

**b) (1 punto) Para $a = 1$ y $b = 2$, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 2$.** Para $x = 2$, la función se rige por la segunda rama (ya que $2 \ge 0$). Sustituimos $b = 2$: $$f(x) = x^2 - 2x - 1$$ La ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ es: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. 1. **Punto de tangencia ($x_0 = 2$):** $$f(2) = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$$ El punto es $(2, -1)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m = f'(2)$):** La derivada de esta rama es $f'(x) = 2x - 2$. $$f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$$ 3. **Ecuación de la recta:** $$y - (-1) = 2(x - 2)$$ $$y + 1 = 2x - 4 \implies y = 2x - 5$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto es siempre el valor de la derivada de la función evaluada en la abscisa de ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2x - 5}$$