Probabilidad de aprobar exámenes: Unión, Condicionada e Independencia

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos y organizamos la información en una tabla de contingencia. Definimos los sucesos: - $T$: Aprobar el examen teórico. - $P$: Aprobar el examen práctico. Los datos del enunciado son: - $P(T) = 0.8$ - $P(P) = 0.6$ - $P(T \cap P) = 0.5$ A partir de estos datos, podemos completar la tabla de contingencia sabiendo que las probabilidades totales deben sumar 1: $$\begin{array}{c|cc|c} & P & \bar{P} & \text{Total} \\ \hline T & 0.5 & 0.3 & 0.8 \\ \bar{T} & 0.1 & 0.1 & 0.2 \\ \hline \text{Total} & 0.6 & 0.4 & 1.0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia de probabilidad, las filas y columnas deben sumar sus marginales, y la esquina inferior derecha siempre debe ser 1 (la probabilidad total).

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?** El suceso "aprobar al menos uno" se representa mediante la unión de los sucesos $T$ y $P$, es decir, $T \cup P$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(T \cup P) = 0.8 + 0.6 - 0.5$$ $$P(T \cup P) = 1.4 - 0.5 = 0.9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la unión de dos sucesos incluye la probabilidad de que ocurra solo el primero, solo el segundo o ambos a la vez. Por eso restamos la intersección una vez para no contarla doble. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup P) = 0.9}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen práctico en caso de no haber aprobado el examen teórico?** Se nos pide calcular una probabilidad condicionada. El suceso que sabemos que ha ocurrido (la condición) es "no haber aprobado el examen teórico" ($\bar{T}$), y queremos hallar la probabilidad de "aprobar el examen práctico" ($P$). La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(P | \bar{T}) = \frac{P(P \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Calculamos los valores necesarios (que ya extrajimos de nuestra tabla en el paso 1): - $P(P \cap \bar{T}) = 0.1$ (aprobó el práctico pero no el teórico). - $P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0.8 = 0.2$. Sustituimos en la fórmula: $$P(P | \bar{T}) = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ restringe nuestro espacio muestral únicamente al suceso $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P | \bar{T}) = 0.5}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “aprobar el examen teórico” y “aprobar el examen práctico”?** Dos sucesos $T$ y $P$ son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(T \cap P) = P(T) \cdot P(P)$$ Calculamos el producto de las probabilidades: $$P(T) \cdot P(P) = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección dada en el enunciado: $$P(T \cap P) = 0.5$$ Como $0.5 \neq 0.48$, la condición de independencia no se cumple. Otra forma de verlo es comparar $P(P)$ con $P(P|T)$ o $P(P|\bar{T})$. En el apartado anterior vimos que $P(P|\bar{T}) = 0.5$, mientras que $P(P) = 0.6$. Como saber que no aprobó el teórico cambia la probabilidad de aprobar el práctico, los sucesos dependen entre sí. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra un suceso cambia la probabilidad del otro, entonces son **dependientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes}}$$