Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.3 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 96 %, para la media de la población.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ = "peso de los tarros de mermelada": - Desviación típica poblacional: $\sigma = 25$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 230$ g. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 96 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces $\alpha = 0.04$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.02$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$. Buscando en la tabla, el valor 0.98 se encuentra entre $z=2.05$ (0.9798) y $z=2.06$ (0.9803). Tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 2.055$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para encerrar el área de probabilidad deseada (en este caso, el 96 % central).

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.055 \cdot \frac{25}{\sqrt{100}} = 2.055 \cdot \frac{25}{10} = 2.055 \cdot 2.5 = 5.1375 \text{ g. }$$ Ahora, construimos el intervalo de confianza $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (230 - 5.1375, \quad 230 + 5.1375)$$ $$IC = (224.8625, \quad 235.1375)$$ ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{IC = (224.86, 235.14)}$$

**b) (0.2 puntos) ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?** El error máximo cometido en un intervalo de confianza para la media es la mitad de la amplitud del intervalo, lo que coincide con el valor $E$ calculado en el apartado anterior. Como hemos visto: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.055 \cdot 2.5 = 5.1375$$ 💡 **Tip:** El error máximo también se puede entender como la distancia máxima que existe entre la media de la muestra y la verdadera media de la población con el nivel de confianza dado. ✅ **Resultado del error:** $$\boxed{E = 5.1375 \text{ g.}}$$

**c) (1 punto) Determine el tamaño muestral mínimo para que el error máximo cometido al construir un intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza, sea 2 g.** En este apartado, conocemos el error deseado ($E = 2$ g) y mantenemos el nivel de confianza del 96 % ($z_{\alpha/2} = 2.055$). Debemos despejar $n$ de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Elevando al cuadrado ambos miembros: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2.055 \cdot 25}{2} \right)^2 = \left( \frac{51.375}{2} \right)^2 = (25.6875)^2$$ $$n \approx 659.8476$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos que el error sea **como máximo** 2, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior, independientemente de los decimales. 💡 **Tip:** Si tomáramos $n=659$, el error sería ligeramente superior a 2. Al tomar $n=660$, garantizamos que el error sea menor o igual a 2. ✅ **Resultado del tamaño muestral:** $$\boxed{n = 660 \text{ tarros}}$$