Optimización de la producción mediante programación lineal

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada tipo de bebida que queremos fabricar. Definimos las variables: - $x$: número de envases del primer tipo de bebida. - $y$: número de envases del segundo tipo de bebida. El objetivo es maximizar la ganancia total obtenida por la venta de estas bebidas. Según el enunciado, el primer tipo se vende a $1.5\ €$ y el segundo a $1\ €$. Por tanto, la **función objetivo** es: $$G(x, y) = 1.5x + y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué te están preguntando para asignar las variables $x$ e $y$ adecuadamente.

Debemos tener cuidado con las unidades: las necesidades de cada envase están en gramos ($g$) y las existencias en kilogramos ($kg$). Convertimos todo a gramos ($1\ kg = 1000\ g$): - Taurina: $52\ kg = 52000\ g$ - Cafeína: $46\ kg = 46000\ g$ - L-carnitina: $20\ kg = 20000\ g$ Planteamos las inecuaciones basadas en el consumo de cada componente: 1. **Taurina:** $30x + 40y \le 52000 \implies 3x + 4y \le 5200$ 2. **Cafeína:** $40x + 30y \le 46000 \implies 4x + 3y \le 4600$ 3. **L-carnitina:** $20x + 10y \le 20000 \implies 2x + y \le 2000$ Además, como no se pueden fabricar cantidades negativas de envases, añadimos las restricciones de no negatividad: - $x \ge 0$ - $y \ge 0$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (dividiendo por 10 en este caso) facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.

La región factible es la zona del plano que cumple todas las restricciones a la vez. Para dibujarla, calculamos los puntos donde las rectas limitantes se cortan entre sí o con los ejes. **Vértices de la región factible:** - **A (Origen):** $(0, 0)$ - **B (Eje Y y Taurina):** Si $x=0$ en $3x + 4y = 5200 \implies 4y = 5200 \implies y = 1300$. Punto: $(0, 1300)$ - **C (Intersección Taurina y Cafeína):** $$\begin{cases} 3x + 4y = 5200 \\ 4x + 3y = 4600 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por -4: $$\begin{cases} 9x + 12y = 15600 \\ -16x - 12y = -18400 \end{cases} \implies -7x = -2800 \implies x = 400$$ Sustituyendo: $3(400) + 4y = 5200 \implies 1200 + 4y = 5200 \implies 4y = 4000 \implies y = 1000$. Punto: $(400, 1000)$ - **D (Intersección Cafeína y L-carnitina):** $$\begin{cases} 4x + 3y = 4600 \\ 2x + y = 2000 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por -3: $$\begin{cases} 4x + 3y = 4600 \\ -6x - 3y = -6000 \end{cases} \implies -2x = -1400 \implies x = 700$$ Sustituyendo: $2(700) + y = 2000 \implies 1400 + y = 2000 \implies y = 600$. Punto: $(700, 600)$ - **E (Eje X y L-carnitina):** Si $y=0$ en $2x + y = 2000 \implies 2x = 2000 \implies x = 1000$. Punto: $(1000, 0)$

Dibujamos las rectas y sombreamos el área que satisface todas las inecuaciones. Los vértices obtenidos en el paso anterior delimitan el polígono de soluciones posibles.

Para encontrar la ganancia máxima, evaluamos la función objetivo $G(x, y) = 1.5x + y$ en cada uno de los vértices de la región factible: $$\begin{array}{c|c|l} \text{Vértice} & (x, y) & G(x, y) = 1.5x + y \\ \hline \text{A} & (0, 0) & G = 1.5(0) + 0 = 0 \ € \\ \text{B} & (0, 1300) & G = 1.5(0) + 1300 = 1300 \ € \\ \text{C} & (400, 1000) & G = 1.5(400) + 1000 = 600 + 1000 = 1600 \ € \\ \text{D} & (700, 600) & G = 1.5(700) + 600 = 1050 + 600 = 1650 \ € \\ \text{E} & (1000, 0) & G = 1.5(1000) + 0 = 1500 \ € \end{array}$$ Observamos que el valor máximo se alcanza en el punto $D(700, 600)$. 💡 **Tip:** Por el teorema fundamental de la programación lineal, si existe una solución óptima, esta se encontrará en uno de los vértices de la región factible.

Tras analizar los resultados en los vértices, concluimos que para obtener el beneficio máximo el fabricante debe producir: - **$700$ envases** de la bebida tipo 1. - **$600$ envases** de la bebida tipo 2. La ganancia máxima ascenderá a **$1650\ €$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Producción: 700 tipo 1 y 600 tipo 2. Ganancia: 1650 €}}$$