Estudio de rentabilidad de una inversión

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad de la función $R$.** Analizamos la continuidad de la función $R(x)$ en su dominio $[1, 6]$. La función está definida a trozos por dos expresiones polinómicas: 1. En el intervalo $[1, 2)$, $R(x) = x - 2$ es una función polinómica de primer grado, por lo que es continua en todo este intervalo. 2. En el intervalo $(2, 6]$, $R(x) = -x^2 + 10x - 16$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que también es continua en todo este intervalo. El único punto donde debemos estudiar la continuidad específicamente es en el salto entre ramas, es decir, en **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas son siempre continuas en todo su dominio $(\mathbb{R})$.

Para que la función sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función:** $$R(2) = -(2)^2 + 10(2) - 16 = -4 + 20 - 16 = 0$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** Usamos la primera rama ($x \lt 2$): $$\lim_{x \to 2^-} R(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 2) = 2 - 2 = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** Usamos la segunda rama ($x \ge 2$): $$\lim_{x \to 2^+} R(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 10x - 16) = -4 + 20 - 16 = 0$$ Como $\lim_{x \to 2^-} R(x) = \lim_{x \to 2^+} R(x) = R(2) = 0$, la función es continua en $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } R(x) \text{ es continua en todo su dominio } [1, 6]}$$

**b) (0.75 puntos) Esboce la gráfica de la función.** Para representar la función, analizamos cada tramo: - **Tramo 1 ($1 \le x \lt 2$):** Es un segmento de recta. Calculamos sus extremos: - Si $x = 1$, $R(1) = 1 - 2 = -1$. Punto: $(1, -1)$. - Si $x = 2$, $R(2) = 0$. Punto: $(2, 0)$. - **Tramo 2 ($2 \le x \le 6$):** Es un arco de parábola que abre hacia abajo (porque el coeficiente de $x^2$ es $-1$). - **Vértice:** Se encuentra en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2(-1)} = 5$. Calculamos la ordenada: $R(5) = -5^2 + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9$. Punto: $(5, 9)$. - **Extremo derecho ($x = 6$):** $R(6) = -6^2 + 10(6) - 16 = -36 + 60 - 16 = 8$. Punto: $(6, 8)$. 💡 **Tip:** Para representar una parábola $y = ax^2 + bx + c$, el vértice es fundamental. Si $a \lt 0$, es un máximo absoluto del tramo cuadrático.

**c) (1 punto) ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? ¿Para qué valores de $x$ la rentabilidad es positiva?** Para hallar el máximo, observamos el comportamiento de las dos ramas: - En la rama lineal $R(x) = x - 2$ ($1 \le x \lt 2$), la función es creciente y su valor máximo se acerca a $0$ cuando $x \to 2$. - En la rama parabólica ($2 \le x \le 6$), hemos visto que el vértice está en $x = 5$. Como la parábola abre hacia abajo, este vértice es un máximo relativo y absoluto en este intervalo. Comprobamos la monotonía de la parábola derivando: $R'(x) = -2x + 10$ $-2x + 10 = 0 \implies x = 5$ $$ \begin{array}{c|ccc} x & (2, 5) & 5 & (5, 6)\\ \hline R'(x) & + & 0 & -\\ \hline R(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ La rentabilidad máxima se alcanza con una inversión de **5 millones de euros** y el valor de dicha rentabilidad es $R(5) = 9$ millones de euros. ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{Inversión: 5 millones €, Rentabilidad: 9 millones €}}$$

Debemos resolver la inecuación $R(x) \gt 0$ en el dominio $[1, 6]$. - **En la primera rama ($1 \le x \lt 2$):** $x - 2 \gt 0 \implies x \gt 2$. Como este tramo solo llega hasta $x = 2$, en este intervalo **la rentabilidad no es positiva** (es negativa o cero). - **En la segunda rama ($2 \le x \le 6$):** $-x^2 + 10x - 16 \gt 0$. Buscamos las raíces de la ecuación $-x^2 + 10x - 16 = 0$: $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-1)(-16)}}{2(-1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 64}}{-2} = \frac{-10 \pm 6}{-2}$$ Las soluciones son $x_1 = \frac{-4}{-2} = 2$ y $x_2 = \frac{-16}{-2} = 8$. La parábola es positiva entre sus raíces $(2, 8)$. Al restringir este intervalo a nuestro dominio de estudio $[2, 6]$, la rentabilidad es positiva para $x \in (2, 6]$. 💡 **Tip:** No olvides que el ejercicio limita la inversión a un máximo de 6 millones, por lo que descartamos valores superiores a 6. ✅ **Resultado (Rentabilidad positiva):** $$\boxed{2 \lt x \le 6 \text{ millones de euros}}$$