Probabilidad de audiencia de cadenas de radio

Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $A$: "Escuchar la cadena A". - $B$: "Escuchar la cadena B". Los datos que nos ofrece el ejercicio expresados en términos de probabilidad (dividiendo los porcentajes entre 100) son: - $P(A) = 0.50$ (50 %) - $P(B) = 0.40$ (40 %) - $P(A \cap B) = 0.20$ (20 % escuchan ambas) 💡 **Tip:** En probabilidad, trabajar con decimales entre 0 y 1 suele ser más cómodo para las fórmulas, aunque al final daremos la respuesta en porcentaje como pide el enunciado.

Para visualizar mejor la situación y facilitar los cálculos de los siguientes apartados, construimos una tabla de contingencia. Usaremos $\bar{A}$ y $\bar{B}$ para representar a quienes **no** escuchan las cadenas A y B respectivamente. $$ \begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.20 & 0.30 & 0.50 \\ \bar{A} & 0.20 & 0.30 & 0.50 \\ \hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array} $$ **¿Cómo hemos rellenado la tabla?** 1. Colocamos los totales: $P(A)=0.50$, $P(B)=0.40$ y el total absoluto $1.00$. 2. Colocamos la intersección conocida: $P(A \cap B)=0.20$. 3. Completamos restando: $0.50 - 0.20 = 0.30$ (escuchan A pero no B) y $0.40 - 0.20 = 0.20$ (escuchan B pero no A). 4. El resto se completa sumando filas o columnas hasta llegar a los totales.

**a) (1 punto) Halle el porcentaje de la población que escucha alguna de las dos cadenas.** Escuchar "alguna de las dos" se representa matemáticamente mediante la unión de sucesos: $P(A \cup B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.50 + 0.40 - 0.20 = 0.70$$ Convertimos el resultado a porcentaje: $0.70 \cdot 100 = 70 \%$. 💡 **Tip:** La unión $A \cup B$ representa a todas aquellas personas que escuchan A, o escuchan B, o ambas. Es la suma de las probabilidades individuales menos la que tienen en común (para no contarla dos veces). ✅ **Resultado:** $$\boxed{70 \% \text{ escucha alguna de las dos cadenas}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule el porcentaje de la población que escucha solo la cadena B.** Escuchar "solo la cadena B" significa que escuchan B y, al mismo tiempo, **no** escuchan A. Esto se denota como $P(B \cap \bar{A})$ o $P(B - A)$. Podemos calcularlo restando de los que escuchan B, aquellos que escuchan ambas: $$P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los datos: $$P(B \cap \bar{A}) = 0.40 - 0.20 = 0.20$$ Convertimos a porcentaje: $0.20 \cdot 100 = 20 \%$. 💡 **Tip:** Gráficamente, esto corresponde al área de B que no solapa con A. En nuestra tabla de contingencia, es el valor de la celda de la columna $B$ y fila $\bar{A}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{20 \% \text{ escucha solo la cadena B}}$$

**c) (1 punto) Halle el porcentaje de la población que escucha solo una de las dos cadenas.** Este suceso ocurre en dos casos mutuamente excluyentes: 1. Escuchan solo la cadena A (y no la B): $P(A \cap \bar{B})$ 2. Escuchan solo la cadena B (y no la A): $P(\bar{A} \cap B)$ Calculamos primero $P(A \cap \bar{B})$: $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.50 - 0.20 = 0.30$$ Ya sabemos del apartado anterior que $P(\bar{A} \cap B) = 0.20$. Sumamos ambas probabilidades: $$P(\text{solo una}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0.30 + 0.20 = 0.50$$ Otra forma de pensarlo es: del total que escucha alguna de las dos ($P(A \cup B)$), restamos a los que escuchan ambas ($P(A \cap B)$): $$P(\text{solo una}) = 0.70 - 0.20 = 0.50$$ Convertimos a porcentaje: $0.50 \cdot 100 = 50 \%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{50 \% \text{ escucha solo una de las dos cadenas}}$$