Muestreo estratificado proporcional en un centro escolar

Para resolver ambos apartados, primero debemos conocer el número total de alumnos matriculados en el centro docente ($N$). Sumamos los alumnos de todos los cursos: $$N = 160 + 120 + 120 + 80 + 240 + 200$$ $$N = 920 \text{ alumnos}$$ 💡 **Tip:** En problemas de muestreo proporcional (muestreo estratificado), la suma de todos los estratos representa la población total sobre la cual aplicaremos las proporciones. $$\boxed{N = 920}$$

**a) (1.25 puntos) ¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5 % del total del alumnado?** Calculamos el tamaño total de la comisión ($n$) aplicando el $5\%$ al total del alumnado: $$n = 5\% \text{ de } 920 = 0,05 \cdot 920$$ $$n = 46 \text{ alumnos}$$ La comisión debe tener un total de **46 alumnos**. 💡 **Tip:** El factor de proporcionalidad para cada curso será $k = 0,05$ (el $5\%$).

Como la comisión debe ser proporcional, cada curso aportará el $5\%$ de sus alumnos matriculados: - **1º ESO:** $160 \cdot 0,05 = 8$ alumnos - **2º ESO:** $120 \cdot 0,05 = 6$ alumnos - **3º ESO:** $120 \cdot 0,05 = 6$ alumnos - **4º ESO:** $80 \cdot 0,05 = 4$ alumnos - **1º Bach:** $240 \cdot 0,05 = 12$ alumnos - **2º Bach:** $200 \cdot 0,05 = 10$ alumnos Comprobamos que la suma total sea correcta: $8 + 6 + 6 + 4 + 12 + 10 = 46$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Total: } 46. \text{ Distribución: 8, 6, 6, 4, 12 y 10 alumnos respectivamente}}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2º de ESO?** En este caso, se nos fija una condición: el estrato de 2º de ESO debe aportar 9 alumnos. Calculamos la proporción ($k$) que esto representa respecto a sus 120 alumnos matriculados: $$k = \frac{\text{alumnos en comisión}}{\text{alumnos totales del curso}} = \frac{9}{120}$$ Simplificamos o calculamos el valor decimal: $$k = 0,075$$ Esto significa que la comisión estará formada por el **$7,5\%$** de los alumnos de cada curso. 💡 **Tip:** Para mantener la proporcionalidad, todos los cursos deben multiplicarse por este mismo factor $k$.

Aplicamos el factor $k = 0,075$ al resto de los cursos: - **1º ESO:** $160 \cdot 0,075 = 12$ alumnos - **2º ESO:** $120 \cdot 0,075 = 9$ alumnos (dato del enunciado) - **3º ESO:** $120 \cdot 0,075 = 9$ alumnos - **4º ESO:** $80 \cdot 0,075 = 6$ alumnos - **1º Bach:** $240 \cdot 0,075 = 18$ alumnos - **2º Bach:** $200 \cdot 0,075 = 15$ alumnos El tamaño total de la comisión en este caso sería: $12 + 9 + 9 + 6 + 18 + 15 = 69$ alumnos. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Composición: 12, 9, 9, 6, 18 y 15 alumnos respectivamente}}$$