Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (1.1, 2.8) pertenece al recinto.** Para que un punto pertenezca al recinto, debe satisfacer todas las inecuaciones que lo definen simultáneamente. Sustituimos $x = 1.1$ e $y = 2.8$ en cada una de ellas: 1) $y \le 2x + 1 \implies 2.8 \le 2(1.1) + 1 \implies 2.8 \le 2.2 + 1 \implies 2.8 \le 3.2$ (**Verdadero**). 2) $y \le 13 - 4x \implies 2.8 \le 13 - 4(1.1) \implies 2.8 \le 13 - 4.4 \implies 2.8 \le 8.6$ (**Verdadero**). 3) $x \ge 4 - y \implies 1.1 \ge 4 - 2.8 \implies 1.1 \ge 1.2$ (**Falso**). 💡 **Tip:** Basta con que no se cumpla una de las desigualdades para que el punto quede fuera de la región factible. Como el punto no satisface la tercera inecuación, concluimos que: $$\boxed{\text{El punto (1.1, 2.8) no pertenece al recinto.}}$$

**b) (1.5 puntos) ¿En qué puntos alcanza la función $F(x, y) = -3x + 1.5y$ sus valores extremos y cuáles son éstos?** Primero, transformamos las inecuaciones en igualdades para hallar las rectas que limitan el recinto y calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones: $r_1: y = 2x + 1$ $r_2: y = 13 - 4x$ $r_3: x + y = 4$ **Vértice A** ($r_1 \cap r_2$): $2x + 1 = 13 - 4x \implies 6x = 12 \implies x = 2$ $y = 2(2) + 1 = 5 \implies \mathbf{A(2, 5)}$ **Vértice B** ($r_2 \cap r_3$): $y = 13 - 4(4 - y) \implies y = 13 - 16 + 4y \implies -3y = -3 \implies y = 1$ $x = 4 - 1 = 3 \implies \mathbf{B(3, 1)}$ **Vértice C** ($r_1 \cap r_3$): $2x + 1 = 4 - x \implies 3x = 3 \implies x = 1$ $y = 4 - 1 = 3 \implies \mathbf{C(1, 3)}$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "r1", "latex": "y \\le 2x + 1", "color": "#2563eb" }, { "id": "r2", "latex": "y \\le 13 - 4x", "color": "#2563eb" }, { "id": "r3", "latex": "x \\ge 4 - y", "color": "#2563eb" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 7 } } }

Evaluamos $F(x, y) = -3x + 1.5y$ en cada vértice para encontrar los valores extremos: - $F(A) = F(2, 5) = -3(2) + 1.5(5) = -6 + 7.5 = 1.5$ - $F(B) = F(3, 1) = -3(3) + 1.5(1) = -9 + 1.5 = -7.5$ - $F(C) = F(1, 3) = -3(1) + 1.5(3) = -3 + 4.5 = 1.5$ 💡 **Tip:** Si el valor máximo o mínimo se repite en dos vértices adyacentes, significa que la función objetivo es paralela a ese lado del recinto y alcanza dicho valor en todo el segmento que los une. Observamos que el valor máximo es **1.5** y se alcanza tanto en $A$ como en $C$. Por tanto, se alcanza en todos los puntos del segmento $AC$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Máximo: } & 1.5 \text{ en todos los puntos del segmento } AC \\ \text{Mínimo: } & -7.5 \text{ en el punto } B(3, 1) \end{aligned}}$$

**c) (0.5 puntos) Razone si existe algún punto del recinto en el que la función $F$ se anule.** La función $F(x, y)$ es una función continua. Según el estudio realizado en el apartado anterior, sabemos que: - El valor máximo de la función en el recinto es $1.5$ ($F > 0$). - El valor mínimo de la función en el recinto es $-7.5$ ($F < 0$). Dado que el recinto es un conjunto conexo (un polígono cerrado) y la función toma valores tanto positivos como negativos, por el **Teorema de los Valores Intermedios**, la función debe tomar todos los valores comprendidos entre el mínimo y el máximo. Como $0$ está comprendido entre $-7.5$ y $1.5$, podemos asegurar que existe al menos un punto (en realidad, toda una recta que cruza el recinto) donde la función se anula. Específicamente, la recta $F(x, y) = 0 \implies -3x + 1.5y = 0 \implies y = 2x$ atraviesa el recinto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, existe al menos un punto donde } F(x, y) = 0 \text{ porque 0 está entre el mínimo y el máximo.}}$$