Derivabilidad de una función a trozos y estudio de su monotonía y curvatura

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea derivable en $x = 1$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Por tanto, empezamos imponiendo la continuidad en $x = 1$. Una función es continua en $x = 1$ si los límites laterales y el valor de la función coinciden: 1. $f(1) = a(1) - 3(1)^2 = a - 3$ 2. $\lim_{x o 1^-} f(x) = \lim_{x o 1^-} (ax - 3x^2) = a - 3$ 3. $\lim_{x o 1^+} f(x) = \lim_{x o 1^+} (2x^2 + b) = 2 + b$ Igualamos los resultados: $$a - 3 = 2 + b \implies a - b = 5 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua, automáticamente no puede ser derivable.

Una vez asegurada la continuidad, para que sea derivable en $x = 1$, las **derivadas laterales** deben ser iguales. Calculamos la derivada de la función para cada rama (excepto en el punto de unión temporalmente): $$f'(x) = \begin{cases} a - 6x & \text{si } x < 1 \\ 4x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calculamos los límites de la derivada cuando $x \to 1$: 1. Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = a - 6(1) = a - 6$ 2. Derivada por la derecha: $f'(1^+) = 4(1) = 4$ Para que sea derivable, imponemos $f'(1^-) = f'(1^+)$: $$a - 6 = 4 \implies a = 10$$ 💡 **Tip:** Al derivar polinomios, bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Sustituimos el valor de $a = 10$ en la **Ecuación 1** que obtuvimos de la continuidad: $$a - b = 5$$ $$10 - b = 5 \implies b = 10 - 5 = 5$$ Por lo tanto, los valores buscados son: ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{a = 10, \quad b = 5}$$

**b) (1 punto) Para $a = 3$ y $b = -2$, estudie la monotonía y curvatura de la función $f$.** Con $a = 3$ y $b = -2$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} 3x - 3x^2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x^2 - 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Su derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} 3 - 6x & \text{si } x < 1 \\ 4x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: - En la primera rama ($x < 1$): $3 - 6x = 0 \implies x = 0.5$ (está en el intervalo). - En la segunda rama ($x > 1$): $4x = 0 \implies x = 0$ (no está en el intervalo). Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por $x=0.5$ y el punto de salto $x=1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0.5) & 0.5 & (0.5, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 0.5) \cup (1, +\infty) \text{ y Decreciente en } (0.5, 1)}$$ Posee un **máximo relativo** en $x = 0.5$ y un **mínimo relativo** en $x = 1$.

Calculamos la segunda derivada derivando $f'(x)$: $$f''(x) = \begin{cases} -6 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Como $f''(x)$ es constante en cada tramo, el signo es directo: - Si $x < 1$, $f''(x) = -6 < 0 \implies$ La función es **cóncava hacia abajo** (convexa). - Si $x > 1$, $f''(x) = 4 > 0 \implies$ La función es **cóncava hacia arriba** (cóncava). Analizamos gráficamente el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f''(x) & - & \nexists & + \\\hline f(x) & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Cóncava hacia abajo en } (-\infty, 1) \text{ y cóncava hacia arriba en } (1, +\infty)}$$ Existe un **punto de inflexión** en $x = 1$ ya que hay cambio de curvatura y la función es continua allí.