Probabilidad condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

Para resolver este tipo de problemas, lo primero es organizar la información y definir los sucesos: - $E$: Alumno de Empresariales. - $R$: Alumno de Relaciones Laborales. - $D$: Alumno de Derecho. - $S$: Vota SÍ. - $N$: Vota NO. Calculamos el número de alumnos de Derecho: $$\text{Derecho} = 420 - (180 + 72) = 420 - 252 = 168.$$ Calculamos las probabilidades de pertenecer a cada grado: - $P(E) = \dfrac{180}{420} = \dfrac{3}{7}$ - $P(R) = \dfrac{72}{420} = \dfrac{6}{35}$ - $P(D) = \dfrac{168}{420} = \dfrac{2}{5}$ Ahora determinamos las probabilidades condicionadas de los votos: - Empresariales ($E$): $P(N|E) = 1/3 \implies P(S|E) = 2/3$. - Relaciones Laborales ($R$): $16$ de $72$ votan NO $\implies P(N|R) = \dfrac{16}{72} = \dfrac{2}{9} \implies P(S|R) = \dfrac{7}{9}$. - Derecho ($D$): $P(N|D) = 2/3 \implies P(S|D) = 1/3$. 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol nos ayuda a visualizar todas las combinaciones posibles y sus probabilidades.

**a) (0.9 puntos) Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.** Nos piden la probabilidad de la intersección $P(E \cap S)$. Usamos la regla del producto: $$P(E \cap S) = P(E) \cdot P(S|E)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(E \cap S) = \dfrac{180}{420} \cdot \dfrac{2}{3}$$ Simplificamos la fracción: $$P(E \cap S) = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{7}$$ Expresado en decimales: $$P(E \cap S) \approx 0.2857$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E \cap S) = \dfrac{2}{7} \approx 0.2857}$$

**b) (0.8 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?** Para calcular $P(S)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de votar SÍ en cada uno de los grados: $$P(S) = P(E \cap S) + P(R \cap S) + P(D \cap S)$$ $$P(S) = P(E)P(S|E) + P(R)P(S|R) + P(D)P(S|D)$$ Calculamos cada término (es más sencillo trabajar con el número de alumnos): - Alumnos de Empresariales que votan SÍ: $180 \cdot \dfrac{2}{3} = 120$ - Alumnos de Relaciones Laborales que votan SÍ: $72 - 16 = 56$ - Alumnos de Derecho que votan SÍ: $168 \cdot \dfrac{1}{3} = 56$ Probabilidad total: $$P(S) = \dfrac{120 + 56 + 56}{420} = \dfrac{232}{420}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$P(S) = \dfrac{58}{105} \approx 0.5524$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todos los casos favorables (votos SÍ) dividida por el total de alumnos es equivalente a aplicar la fórmula del Teorema de la Probabilidad Total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = \dfrac{58}{105} \approx 0.5524}$$

**c) (0.8 puntos) Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Relaciones Laborales?** Este es un problema de **probabilidad a posteriori**, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar $P(R|N)$: $$P(R|N) = \dfrac{P(R \cap N)}{P(N)}$$ Primero, calculamos $P(N)$ (probabilidad de votar NO): Como $P(S) + P(N) = 1$, entonces: $$P(N) = 1 - P(S) = 1 - \dfrac{232}{420} = \dfrac{188}{420}$$ Ahora, calculamos $P(R \cap N)$: $$P(R \cap N) = \dfrac{16}{420}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(R|N) = \dfrac{\dfrac{16}{420}}{\dfrac{188}{420}} = \dfrac{16}{188}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$P(R|N) = \dfrac{4}{47} \approx 0.0851$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, los denominadores de las probabilidades individuales (el total de alumnos, 420) suelen cancelarse, permitiéndote trabajar directamente con los números absolutos de alumnos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R|N) = \dfrac{4}{47} \approx 0.0851}$$