Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa Facultad a las redes sociales.** Primero, identificamos los parámetros de la población y los datos de la muestra: - La variable $X$ (tiempo en redes sociales) sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 2$ horas. - El tamaño de la muestra es $n = 10$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando los valores y dividiendo por el total: $$\bar{x} = \frac{6.5 + 7 + 6.25 + 7 + 5.5 + 7.25 + 6.75 + 6.25 + 6 + 6.5}{10} = \frac{65}{10} = 6.5$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 6.5\text{ horas}}$$

Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área a su izquierda sea $1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, vemos que el valor $0.95$ se encuentra exactamente en el punto medio entre $1.64$ y $1.65$: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** Si el nivel de confianza es del $90\%$, el valor crítico suele ser $1.645$. Si es del $95\%$, es $1.96$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \, , \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo de estimación ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} \approx 1.645 \cdot 0.6325 = 1.0404$$ Ahora, calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $6.5 - 1.0404 = 5.4596$ - Límite superior: $6.5 + 1.0404 = 7.5404$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (5.4596 \, , \, 7.5404)}$$

**b) (1 punto) Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0.1 horas.** Partimos de la fórmula del error de estimación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0.1$. Los datos que tenemos son: - Nivel de confianza $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1.645$ - Desviación típica $\sigma = 2$ - Error máximo permitido $E = 0.1$ Despejamos $n$ de la fórmula: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ 💡 **Tip:** Para hallar el tamaño muestral, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero, ya que no podemos tomar una muestra con decimales.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \left( \frac{1.645 \cdot 2}{0.1} \right)^2 = \left( \frac{3.29}{0.1} \right)^2 = (32.9)^2$$ $$n = 1082.41$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.1$, debemos redondear siempre hacia arriba para asegurar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño muestral mínimo):** $$\boxed{n = 1083 \text{ alumnos}}$$