Optimización de la producción de leche

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada tipo de leche que la empresa debe envasar: - $x$: número de litros de leche **entera** envasados diariamente. - $y$: número de litros de leche **desnatada** envasados diariamente. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada litro de leche entera aporta $0.4\text{ €}$ y cada litro de leche desnatada aporta $0.1\text{ €}$. Por tanto, la **función objetivo** será: $$B(x, y) = 0.4x + 0.1y$$ 💡 **Tip:** Define siempre las variables con sus unidades (en este caso, litros) para no confundirte al plantear las restricciones.

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Relación tecnológica:** El número de litros de leche entera no supera el doble de desnatada: $$x \le 2y$$ 2. **Capacidad máxima total:** La cantidad total de leche no puede superar los $3000$ litros: $$x + y \le 3000$$ 3. **Disponibilidad de materia prima:** Solo hay $1200$ litros de leche entera: $$x \le 1200$$ 4. **No negatividad:** Como son cantidades físicas, no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} x - 2y \le 0 \\ x + y \le 3000 \\ x \le 1200 \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \end{cases}$$

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el recinto común: - **$r_1: x = 2y$** (Pasa por $(0,0)$ y $(1200, 600)$). - **$r_2: x + y = 3000$** (Pasa por $(3000, 0)$ y $(0, 3000)$). - **$r_3: x = 1200$** (Recta vertical). Evaluando puntos de prueba (como el $(100, 1000)$), sombreamos la zona que cumple todas las inecuaciones.

Los vértices del polígono se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $x-2y=0$. $x=0 \implies 0=2y \implies y=0$. Punto $\mathbf{A(0, 0)}$. - **Vértice B:** Intersección de $x=0$ y $x+y=3000$. $x=0 \implies 0+y=3000 \implies y=3000$. Punto $\mathbf{B(0, 3000)}$. - **Vértice C:** Intersección de $x+y=3000$ y $x=1200$. $1200+y=3000 \implies y=1800$. Punto $\mathbf{C(1200, 1800)}$. - **Vértice D:** Intersección de $x=1200$ y $x=2y$. $1200=2y \implies y=600$. Punto $\mathbf{D(1200, 600)}$. 💡 **Tip:** En programación lineal, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que los une).

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 0.4x + 0.1y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(0, 0) = 0.4(0) + 0.1(0) = 0 \text{ €}$ - $B(0, 3000) = 0.4(0) + 0.1(3000) = 300 \text{ €}$ - $B(1200, 1800) = 0.4(1200) + 0.1(1800) = 480 + 180 = \mathbf{660 \text{ €}}$ - $B(1200, 600) = 0.4(1200) + 0.1(600) = 480 + 60 = 540 \text{ €}$ El valor máximo es de $660 \text{ €}$ y se alcanza en el punto $(1200, 1800)$. Para obtener el beneficio máximo, la empresa debe envasar **1200 litros de leche entera y 1800 litros de leche desnatada**. El beneficio ascendería a **660 € diarios**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Entera: } 1200 \text{ L, Desnatada: } 1800 \text{ L. Beneficio: } 660 \text{ €}}$$