Probabilidad: Selección de miembros de una comisión

**a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sean profesoras?** Primero, definimos los sucesos y analizamos los datos del departamento: - Total de miembros: $8 \text{ (profesores)} + 14 \text{ (profesoras)} = 22 \text{ miembros}.$ - Sea $H$ el suceso "elegir un profesor". - Sea $M$ el suceso "elegir una profesora". Como la comisión se forma con 2 miembros elegidos al azar, estamos ante un experimento de extracción sin reemplazamiento (una vez elegida la primera persona, no puede ser elegida de nuevo). Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En experimentos sin reemplazamiento, recuerda que tanto el numerador como el denominador disminuyen en una unidad para la segunda extracción si el suceso es el mismo.

Para que ambos miembros sean profesoras, debe ocurrir que la primera sea profesora ($M_1$) y la segunda también lo sea ($M_2$). Usando la regla del producto (siguiendo la rama inferior del árbol): $$P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1)$$ Sustituimos los valores: $$P(M_1 \cap M_2) = \frac{14}{22} \cdot \frac{13}{21}$$ Simplificamos las fracciones para facilitar el cálculo ($\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$): $$P(M_1 \cap M_2) = \frac{14}{22} \cdot \frac{13}{21} = \frac{182}{462} = \frac{13}{33} \approx 0.3939$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{dos profesoras}) = \frac{13}{33} \approx 0.3939}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la comisión esté constituida por un profesor y una profesora.** Este suceso ocurre en dos casos: que el primero sea profesor y la segunda profesora ($H \cap M$) o que la primera sea profesora y el segundo profesor ($M \cap H$). $$P(\text{uno de cada}) = P(H_1 \cap M_2) + P(M_1 \cap H_2)$$ Calculamos cada término siguiendo las ramas del árbol: 1. $P(H_1 \cap M_2) = \frac{8}{22} \cdot \frac{14}{21} = \frac{112}{462}$ 2. $P(M_1 \cap H_2) = \frac{14}{22} \cdot \frac{8}{21} = \frac{112}{462}$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(\text{uno de cada}) = \frac{112}{462} + \frac{112}{462} = \frac{224}{462}$$ Simplificamos dividiendo entre 14: $$\frac{224}{462} = \frac{16}{33} \approx 0.4848$$ 💡 **Tip:** Cuando el orden no importa (un profesor y una profesora), debes sumar todas las combinaciones posibles que cumplen la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{un profesor y una profesora}) = \frac{16}{33} \approx 0.4848}$$

**c) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que en la comisión no haya ninguna profesora.** Si no hay ninguna profesora, significa que ambos miembros elegidos deben ser profesores ($H_1$ y $H_2$). Seguimos la rama superior del árbol: $$P(H_1 \cap H_2) = P(H_1) \cdot P(H_2 | H_1)$$ Sustituimos los valores: $$P(H_1 \cap H_2) = \frac{8}{22} \cdot \frac{7}{21}$$ Simplificamos la segunda fracción ($\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$): $$P(H_1 \cap H_2) = \frac{8}{22} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{66} = \frac{4}{33} \approx 0.1212$$ 💡 **Tip:** Observa que la suma de todas las probabilidades calculadas ($a + b + c$) debe ser igual a 1: $$\frac{13}{33} + \frac{16}{33} + \frac{4}{33} = \frac{33}{33} = 1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ninguna profesora}) = \frac{4}{33} \approx 0.1212}$$