Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 96 %, para la proporción de jóvenes que ven la serie.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Número de jóvenes que ven la serie: $x = 36$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementario ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{36}{100} = 0.36$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.36 = 0.64$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de éxitos observados en nuestra muestra y es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $96\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.02 = 0.98$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.98$: - Para $z = 2.05$, la probabilidad es $0.9798$ - Para $z = 2.06$, la probabilidad es $0.9803$ Utilizaremos el valor intermedio más preciso: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.055}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, puedes interpolar o elegir el más cercano. En exámenes de Selectividad, usar $2.05$ o $2.06$ suele ser aceptado, pero $2.055$ es el estándar para el $96\%$.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.055 \cdot \sqrt{\frac{0.36 \cdot 0.64}{100}} = 2.055 \cdot \sqrt{\frac{0.2304}{100}} = 2.055 \cdot \sqrt{0.002304}$$ $$E = 2.055 \cdot 0.048 = 0.09864$$ El intervalo de confianza se calcula como $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.36 - 0.09864, \; 0.36 + 0.09864) = (0.26136, \; 0.45864)$$ Redondeando a cuatro decimales: $$\boxed{I.C. = (0.2614, \; 0.4586)}$$ ✅ **Resultado:** El intervalo de confianza al $96\%$ para la proporción es **$(0.2614, \; 0.4586)$**.

**b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 0.03, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?** Datos necesarios: - Nivel de confianza $96\% \implies z_{\alpha/2} = 2.055$ - Error máximo permitido: $E \lt 0.03$ - Proporción muestral (usamos la del apartado anterior): $\hat{p} = 0.36, \hat{q} = 0.64$ Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = (z_{\alpha/2})^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Si el enunciado no diera una proporción previa, para calcular el tamaño muestral máximo posible usaríamos el caso más desfavorable $\hat{p} = 0.5$.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{(2.055)^2 \cdot 0.36 \cdot 0.64}{(0.03)^2}$$ $$n = \frac{4.223025 \cdot 0.2304}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.97298496}{0.0009} \approx 1081.0944$$ Como buscamos que el error sea **inferior** a $0.03$, debemos aumentar el tamaño de la muestra al siguiente número entero, independientemente de los decimales: $$n \ge 1082$$ ✅ **Resultado:** El tamaño muestral mínimo debe ser de **$1082$ jóvenes**. $$\boxed{n = 1082}$$