Operaciones con matrices y resolución de ecuación matricial

**a) (1.2 puntos) Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles: $A \cdot B^t$, $B + 3C$, $C \cdot B^t$, $A \cdot B + C$** Para saber si una operación es posible, primero determinamos las dimensiones de cada matriz: - $A$ tiene 2 filas y 3 columnas: $A \in \mathcal{M}_{2 \times 3}$ - $B$ tiene 3 filas y 2 columnas: $B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}$. Por tanto, su traspuesta $B^t$ cambia filas por columnas: $B^t \in \mathcal{M}_{2 \times 3}$ - $C$ tiene 2 filas y 2 columnas: $C \in \mathcal{M}_{2 \times 2}$ Analizamos cada operación: 1. **$A \cdot B^t$**: Es el producto de una $(2 \times 3)$ por una $(2 \times 3)$. Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda ($3 \neq 2$). **No es posible**. 2. **$B + 3C$**: Es la suma de una $(3 \times 2)$ con una $(2 \times 2)$. Para sumar, las matrices deben tener exactamente la misma dimensión. **No es posible**. 3. **$C \cdot B^t$**: Es el producto de una $(2 \times 2)$ por una $(2 \times 3)$. Las columnas de $C$ (2) coinciden con las filas de $B^t$ (2). **Es posible**. 4. **$A \cdot B + C$**: - Primero el producto $A \cdot B$: $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$. Es posible y el resultado es una matriz $(2 \times 2)$. - Luego sumamos el resultado $(2 \times 2)$ con $C (2 \times 2)$. Al tener la misma dimensión, se puede sumar. **Es posible**. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{m \times n} \cdot N_{n \times p}$, los índices internos ($n$) deben coincidir. Para sumar, todos los índices deben ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son posibles: } C \cdot B^t \text{ y } A \cdot B + C}$$

**b) (1.3 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot B \cdot X = C$** Primero, calculamos el producto $D = A \cdot B$ para simplificar la ecuación a $D \cdot X = C$. $$D = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $d_{11} = 1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 0\cdot2 = 1$ - $d_{12} = 1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot(-2) = -1$ - $d_{21} = 0\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot2 = -2$ - $d_{22} = 0\cdot0 + 1\cdot1 + (-1)\cdot(-2) = 1 + 2 = 3$ Así obtenemos: $$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como: $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

Para despejar $X$ en $D \cdot X = C$, debemos multiplicar por la izquierda por $D^{-1}$, es decir: $X = D^{-1} \cdot C$. Primero comprobamos si $D$ tiene inversa calculando su determinante: $$|D| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (-1 \cdot -2) = 3 - 2 = 1$$ Como $|D| = 1 \neq 0$, la matriz es **invertible**. Calculamos la matriz adjunta y su traspuesta: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(D)$: $$\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la adjunta: $$\text{Adj}(D)^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $D^{-1} = \frac{1}{|D|} \cdot \text{Adj}(D)^t$: $$D^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, su inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $D^{-1}$ por $C$: $$X = D^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - $x_{11} = 3\cdot1 + 1\cdot3 = 6$ - $x_{12} = 3\cdot1 + 1\cdot(-2) = 1$ - $x_{21} = 2\cdot1 + 1\cdot3 = 5$ - $x_{22} = 2\cdot1 + 1\cdot(-2) = 0$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $D$ está a la izquierda de $X$, su inversa $D^{-1}$ debe aparecer a la izquierda de $C$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}}$$